Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тудоровский А.И. -> "Теория оптических приборов " -> 141

Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.

Тудоровский А.И. Теория оптических приборов — М.: Академия наук СССР, 1948. — 659 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaopticheskihpriborov1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 254 >> Следующая

i/Cj - adCi + bdC2.
Уравнение (109,2) перепишем в следующем виде:
n dL' cos — ndl>t cos е3 = dC3, (109,3)
где %' и е3 углы того же луча с отрезками dl3' и dl3. Найденные
вышеуказанным путем отрезки (векторы) dl., и dl.,' удовлетворяют закону косинусов, т. е. dl3 есть изображение отрезка dl3. Так как величина и направление отрезка d/3, лежащего в данной плоскости,
совершенно произвольны, то теорема доказана уравнения (109,1),
удовлетворяющиеся для двух пар каких-нибудь отрезков в рассматриваемых плоскостях, являются необходимым и достаточным условием для того, чтобы бесконечно малый элемент этой плоскости имел соответственное изображение во второй плоскости.
Линейное увеличение в плоскости изображений зависит от направления изображаемого отрезка, т. е. является функцией угла, образуемого отрезком dl с какой-нибудь линией неизменного направления.
(109,1) } (109,2)
§ 109. Совершенное изображение бесконечно .малой площади
363
Примем обе сопряженные плоскости в обоих пространствах предметов и изображений за координатные плоскости OYZ и O'Y'Z' и поместим начала координатных осей в начальных точках элементарных отрезков dl и dl; уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки, имеют такой вид:
и — az; I
J = .v. ) (109'4)
Оптическая система преобразует пучок прямых, проходящих через начало координат в пространстве предметов, в такой же пучок в пространстве изображений; преобразование, удовлетворяющее этому требованию, определяется следующими формулами преобразования координат:
и~ mu' и- nz'\ 1
(109,5)
z — py -+-qz; I
туЩр и q— параметры, определяемые конструкцией оптической системы. Такое преобразование называется афинным и является частным случаем коллинеарного преобразования, определяемого формулами (75,1).
Известно, что в случае афинного преобразования среди сопряженных пар прямых обоих пучков существуют две пары взаимно перпендикулярных прямых. Докажем это положение.
Подставляем значения у и z по формулам преобразования (109,5)
в первое из уравнений (109,4) и находим значение коэффициента а':
а'-^ a5lUL. (109,6)
7п — ар 4
Угловой коэффициент уравнения прямой пространства предметов, перпендикулярной данной прямой, равен — — ; угловой коэффициент а' сопряженной прямой находим по формуле (109,6):
Ъ' — — ап- • (109,7)
am -f~ р \ * г
Выбираем угловой коэффициент а первой прямой таким, чтобы сопряженные прямые были взаимно перпендикулярны, т. е. чтобы имело место уравнение:
а'а'= - 1.
Подставляем в это уравнение значения а' и а' из уравнений (109,6) и (109,7) и находим:
а (тр -+- nq) -н а (р~ -ь q1 — nr—и2) — (mp 0. (109,8)
Если mp i- nq — 0, то a = 0: оси дг-ов и у-ов суть искомые направления взаимно, перпендикулярных линий в пространстве предметов; для сопряженных направлений имеем:
364 Глава X. Изображена я, даваемые оптическими системами, и их погрешности
г* м Р2 Vй — nfi — п2
Ьсли тр -н nq не равно нулю, то дробь--------------mp -t- nq--- е ь KOHe4HOft
чнсло, которое обозначаем буквой Ml уравнение (109,8) приводится к виду:
а2 -+- Ма —1=0;
его решение:
М . VM2-*-4
a =------ "2----- • (109,9>
Легко убедиться в том, что оба корня этого уравнения at и а2 удовлетворяют условию перпендикулярности прямых, т, е. что a,a2 — — 1, и, следовательно, определяют искомые направления.
Принимаем эти направления, а также и сопряженные с ними направления за координатные оси в обоих пространствах: OY, OZ, O'Y' и O'Z’. Обозначим линейные увеличения вдоль осей O'Y' и O'Z' буквами {Зу и а значения постоянных в правых частях соответствен' ных уравнений, выражающих закон косинусов по формуле (108,5), буквами Cv (=и С, (=^-) ¦ Как и раньше, косинусы углов произвольного луча, проходящего через начала координат, с осями называем буквами \ (a, v, а', и/, •/. Упомянутая формула (108, 5) дает:
га'Р„(*' — п(л —Су; п' р, V — nv = С$.
(109,10)
По той же формуле для направления, образующего с осью у-ов угол 9, имеем:
n'(J. (f/ cos<p' t-v'sin'?’)—n (u. cos о -+- v sin 9) = С \ (Ю9,11)
—линейное увеличение и CL,— постоянная закона косинусов для данного направления.
Умножим первое из уравнений (109,10) на cos 9, второе на sin 9 и сложим их; получим:
n! (ft' ^ cos 9 -ь ч' 3, sin о) — л ([л cos 9 -н v sin 9) = Су cos 9 -+- С„ sin 9. Очевидно, что это уравнение должно тожественно совпадать с уравнением (109,11); поэтому:
и.’ cos 9 -»- V В sin 0 = и.’ 5 cos о’ -ь V 3 sin o’; )
n r- n (109,12)
C, — Cy cos 9 C„ sm 9. J
Так как направление луча совершенно произвольно, то нз первого
уравнения следует:
^0059' = ^ cos 9; I sin о' = sin 9. j
Отсюда для увеличения fL инеем;
^ cos2 9 sin2 9. (109,13)
Кроме того
tg9'=r-tgr9- (109,14>
Сопряженные взаимно перпендикулярные направления являются направлениями вкстремальных увеличений, как вто ясно из формулы (109,13); все возможные значения лежат между крайними пределами и 3^.
§ 110. Совершенное изображение элемента объема
365
Таким образом в общем случае оптической системы, дающей изображение элемента площади широкими пучками лучей, это изображение искажено: изображение круга имеет вид эллипса.
Предыдущая << 1 .. 135 136 137 138 139 140 < 141 > 142 143 144 145 146 147 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed