Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
/
Рис. 191.
точки элемента dx и образующие с осью конечные углы, напр, щ и ы2, проходят через сопряженну о точку элемента dx’. По закону косинусов (108,5) имеем:
п a cos ц2' — л cos и2 = п' ос cos и/ — п cos и} = С; (111,1)
а — продольное увеличение, т. е.
Для определения постоянной С применим формулу (111,1) к случаю, когда один нз лучей направлен вдоль оптической оси; тогда и=и'- 0 и уравнение (111,1) можно заменить следующим:
п'у, (1 — cos и’) = п (1 — cos и),
или
пос sin2 у и' --- п sin‘“ у и. (111,2)
Это равенство, называемое условием Гершеля, есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы элемент оптической оси имел совершенное изображение с увеличением х.
б) Закон синусов Аббе. Апланатические точки. Положим, что оптическая система ОО' (рис. 192) изображает элемент плоскости, перпендикулярной оптической оси системы и пересекающей эту ось в точке S. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы изображение этого элемента плоскости в точке S' было совершенным.
368 Глава X.Изображения, даваемые оптическими системами, и их погрешности
выражается одним уравнением (108,1) или (108,5), а не двумя, как в § 109, так как, если какой-нибудь элементарный отрезок dl в плоскости имеет совершенное изображение dl', то вследствие симметрии системы все отрезки,. проходящие через точку S, а следовательно, и все точки элемента плоскости, также имеют совершенные изображения. Уравнение (108,1) дает:
n'dl' cose2' — ndl со&г2 —n'dl' cose/ — n dl cos ~dC\ (111, 3)
углы и e2, s/ и e2' суть углы между элементами dl и dl' и лучами SAy. • tAj'S' и SA2-. .A2'S', которые могут не лежать в меридиональной плоскости, проходящей через оптическую ось и элементарные отрезки dl и dl'.
Рис. 192.
Вместо углов е/ и s2' удобнее ввести их дополнения до пря-
мого угла, т. е. углы и,, и/, и2 и н2', так как эти углы отсчитываются от неизменного направления — от оптической оси. Тогда уравниение (111,3) примет такой вид:
n'dl sin и/ — ndl sin n'dl' sin u/ — ndl sin «j — dC. (Ill, 4)
Для определения постоянной dC применяем формулу к случаю, когда луч идет вдоль оптической оси, т. е. когда и — u'=Q; ясно, что dC—0. Таким образом, приходим к закону синусов Аббе:
n'dl' sin и' —ndl sin и,
или
n'|i sin и' — n sin и;
(i — поперечное увеличение.
Это равенство является необходимым и достаточным условием существования совершенного изображения элементарного отрезка di, перпендикулярного оптической оси, а следовательно, и всего элемента площади, сколь угодно широкими пучками лучей, если тожа этого элемента на оси имеет совершенное изображение.
В § 102 закон синусов был получен как необходимое следствие из фотометрических соображений; его достаточность в данном выводе не требует Особых доказательств, так как закон является частным слу-
(111.5)
(111.6)
§ 111. Закон косинусов в оптической системе с осевой симметрией
369
чаем более общего закона косинусов, для которого такое доказательство было дано.
По примеру Аббе пара сопряженных точек на оси оптической системы, для которых вполне исправлена сферическая аберрация лучей широкого пучка и, кроме того, выполнено условие синусов, называется парою апланатических точек.
Если условия апланатизма не выполнены, то точка элемента плоскости, не лежащая на оптической оси, не имеет удовлетворительного изображения в сопряженной плоскости вследствие того, что отдельные элементарные пучки, входящие в состав широкого пучка, изображают эту точку в различных точках сопряженной плоскости, как это видно на рис. 193: элементарный пучок лучей, выделенных кольцевой диа-фрагмол QjQj и образующих коническую поверхность PQiQ]t после преломления собирается в точке Р/, а такой же пучок PQ>Q2, выделенный диафрагмой QZQ., в точке Р2'• линейное или поперечное увеличение расстояний сопряженных точек от оси различно для различных частей пучка.
В § 61 было доказано существование пары сопряженных точек изображаемых сколь угодно широкими гомоцентрическими пучками при преломлении через сферическую поверхность; можно доказать, что для этих точек выполняется также и условие синусов. Для доказательства воспользуемся рис. 194, повторяющим в упрощенном виде рис. 104, но без излишних линий. Сопряженные точки S и S' находятся на вспомогательных окружностях, о построении которых даны подробные объяснения в § 61 по поводу рис. 104. Построим весьма малые дуги PS и P'S', которые можно рассматривать как сопряженные элементы прямых линий; назовем их длины / и Г. Согласно обозначениям, принятым в § 61, имеем:
из треугольников PSC и P'S'C с общим острым центральным углом С находим:
Рис. 193.
SC —Г — 5
Г г — s'
370 Глава X. Изображения, даваемые оптическими систпемами, и их погрешности
Определив обе разности в правой части из уравнений (60,2) и (60, 3) и подставив их значения, получим:
Г sin V sin а
-»“ — . ¦ —;—г •
/ sin i sm и
Заменив первую дробь в правой части на основании закона преломления
отношением показателей преломления п я п', приводим уравнение
к такому виду:
п!sir» и = n'/'sin u',
т. е. сопряженные отрезки / в f удовлетворяют закону синусов.
