Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тудоровский А.И. -> "Теория оптических приборов " -> 139

Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.

Тудоровский А.И. Теория оптических приборов — М.: Академия наук СССР, 1948. — 659 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaopticheskihpriborov1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 254 >> Следующая

Закон синусов является частным случаем более общего закона, называемого законом косинусов и являющегося необходимым и достаточным условием существования совершенного изображения бесконечно малого элемента плоскости реальной оптической системой с конечным отверстием.
Очень полное изложение вопросов, относящихся к выводу и к истории закона косинусов, имеется в работах М. Герцебергера и Г. Бегегольда: М. Herzberger [2]; Н. Boegehold[l]; Н. Boegehold u. М. Herzberger.
358 Глава X. Изображения, даваемые оптическими системами, а их погрешно г-пи
Общую формулировку закона впервые дал Т. Смит: Т. Smith [1] и [2].
Последующие параграфы содержат вывод закона косинусов в общем случае какой угодно оптической системы и некоторые применения этого закона в случае оптической системы, имеющей оптическую ось.
§ 107. Разность оптических длин двух бесконечно близких лучей
Положим, что два бесконечно близких луча 0,0,' и 020»' (рис. 189) проходят рад преломляющих и отражающих поверхностей. Эти поверхности могут принадлежать оптической системе, дающей изображения, но могут быть также совершенно произвольными; лучи, прошедшие все среды, ограниченные этими поверхностями, могут не давать изображения, но все-таки каждому лучу в первой среде соответствует луч в последней среде, который можно называть сопряженным с лучом в первой среде.
Выберем на этих лучах две пары произвольных бесконечно близких точек: О, и 0S, О/ и Ог'; расстояния между ними назовем символами: dl (= ОД) и dl' (— 0/0„'). Воспользуемся понятием „оптической длины",
установленным в § 15, и обозначим оптические длины между точками О] и О/, 02 и 02' буквами L, и Z,2; пользуясь приемом обозначения этих длин скобками, имеем:
?.,=(0,0/); Z.2 = (OA').
Найдем разность этих величин:
^-^(ОМ-ЮМ.
Проводим через точку 02 поверхность 02 Q, ортогональную лучам 02Л2 и 01А1. Таких поверхностей можно провести бесчисленное множество; выбрав одну из них, мы непременно, согласно закону Малюса, найдем в последней среде поверхность 02'Q', ортогональную лучам A^Q' и А?0<1 и притом такую, что обе поверхности 02Q и O^Q' можно принять за поверхности волн, соответствующих системе сопряженных лучей, К которым ОТНОСЯТСЯ лучи 01А1 И Q'Ai, 02А> и 02'Л2'.
Согласно изложенному в § 1 6 принципу Ферма оптические длины лучей, проходящих через соответственные точки поверхностей волн одной и той же системы лучей, одинаковы для всех лучей, т. е.
(0,0:) = (QQ') = Li. ^107,1)
Опустим из точки Ог на направление Ot А, перпендикуляр 02Ри из точки О! перпендикуляр 02'Р’, обозначим углы, образуемые лучами ОхАу
(/ 70S. Закон косинусов 359
и О/А' с отрезками dl и dl', буквами г и г'; показатели преломления первой и последней среды п и п'. Из рассмотрения чертежа имеем:
L, = nQP-*- nPQ -+- (QQ') — п О'Р — п' РЧТ—
--ndl cos i ¦-»- nPQ-+-(QQ')— п dl' cos — п P'Q .
Вычитаем это уравнение из уравнения (107,1):
L., — L, --- п dl' cos г' — ndlcos г -i- п Р' Q’ — nPQ.
Это выражение может быть применено для вычисления ранности оптических длин даже и в том случае, когда отрезки dl и dl' имеют какие угодно конечные значения. При переходе к бесконечно малым dl и dl’ можно пренебречь величинами п' P'Q’ и nPQ, так как их значения суть бесконечно малые высшего порядка, чем dl и dl'. В пределе имеем:
dL = п dl1 cos i'—ndl cos (107,2^
§ 108. Закон косинусов
а) Применим формулу (107,2) к случаю, когда точки О/ и 02' суть совершенные изображения точек О, и 02, т. е. все лучи, вышедшие из одной точки О, или 02, проходят через точку О/ или 02'. Так как длина отрезков dl и dl' произвольна, то в этом случае отрезок dl' есть совершенное изображение отрезка dl, даваемое сколь угодно широкими пучками лучей.
Согласно принципу Ферма (§ 16) оптическая длина L луча между двумя точками О, и 02 имеет экстремальное значение, т. е.
ЪЬ 0;
L отличается от длины всех возможных бесконечно близких путей
между точками О, и О' на бесконечно малые высших порядков
по сравнению с расстояниями этих путей от луча. Если точки О, и О/ суть сопряженные точки, то = 0 для всех лучей, проходящих через
эти точки, т. е. для всех таких лучей
Z, -- (OjO/) — пост.
То же относится и ко второй паре сопряженных точек О., и 0,\ т. е.
Z,., — (О./),') — пост.
Отсюда следует, что
U — L — пост.;
таким образом формула (107, 2) в случае, когда О/ и О.! суть совершенные изображения точек Oi и О.,, дает:
п'dl' cos--' — ndl cos г = dC, (108,1)
где dC — постоянная, не зависящая от углов г и
б) Докажем, что формула (108,1) не только необходимо вытекает из условия существования совершенного изображения отрезка dl,
360 Гяааа X. Изображения, даваемые оптическими системами, и их погрешности
но я является достаточным условием существования такого изображения. Для этого предположим, что точка О/ (рис.' 190) есть совершенное изображение точки О, и что существует пара бесконечно близких точек Ог и для которых удовлетворяется условие:
n'dl' cos Г— ndl cost —dCx (108,2)
для всех значений углов е и s'; dl и dl', как и раньше расстояния 0,0г «О/О/, е'н г'—углы, образованные каким-нибудь из сопряженных лучей ив точки 01 с отрезками dl и dl'. Докажем, что всякий луч,, вышедший из точки 02, непременно проходит через точку 02', т. е. что точка О; есгь совершенное изображение точки О,.
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed