Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
энергия превышает определенное пороговое значение, которое зависит от
начальной мода. Подобные результаты были получены и советскими авторами
[1.7].
16
Саито показал, что такие результаты можно объяонить, если учесть
зацепление между модами. Похоже, что обнаруженное ФПУ явление возврата
происходит благодаря тому, что начальные условия были достаточно
гладкими, а полная энергия и параметр нелинейности (см. приложение 3)
были малы. Заметим, что, хотя в эргодической сиотеме энергия равномерно
распределена, равнораспределение энергии оамо по себе еще не гарантирует
ее эргодичности. Если энергия части.; распределена в соответствии с
законом Максвелла, это не имеет никакого отношения к эргодичности. В
самом деле, для линейной цепочки показано, что почти все начальные
уоловия ведут немедленно к максвелловскому распределению частиц по
энергии. Однако корреляция в движении частиц будет все время сохраняться.
ФПУ брали системы с числом частиц Л', равным 32 и 64. В этих случаях
собственные частоты, задаваемые (1.1.7), взаимно независимы, т.е. для
любого набора ненулевых имеем Z
что подразумевает отсутствие резонансоЕ. Используя теорию возмущений и
чиоленные расчеты, Форд с соавторами [I.2Jпоказали, что, хотя резонанс
обычно способствует установлению равнораспределения энергии, он не имеет
тесной связи с явлением возврата. Ими же были найдены довольно устойчивые
колебания цепочки, которые они назвали нормальными нелинейными модами.
Это замечательное свойство ведет к нахождению интегрируемой одномерной
цепочки с экспоненциальным взаимодействием. С этой цепочкой мы
ознакомимся в следующей главе, а пока рассмотрим некоторые другие
вопросы, тоже тесно связанные с основным содержанием книги.
1.2. РАСЧЕТ ХЕНОНА - ХЕЙЛЕСА
В дополнение к тому, о чем было упомянуто в конце предыдущего раздела,
Лансфорд и Форд [1.8J обнаружили другой замечательный факт. В дальнейшем
мы часто будем ссылаться на периодическую трехчаотичную систему как на
простейшую нелинейную систему. Гамиль тониан для линейной периодической
трехчастичной цепочки может быть записан в безразмерной форме в виде
ГГ j'^з-(2 J ]^ (i.i.i)
где Р обозначает импульс и (2 - смещение. Так как полный импульс
сохраняется, чиоло степеней овободы может быть оведено к двум.
С этой целью введем нормальные координаты Х± • Kz и Г, и обобщенные
импульоы и соответственно таким образом, чтобы
К, была циклической координатой. Это соответствует повороту в
19
фазовбм пространстве
P. = Т Я-; V (l.2.2a.)
L M- 47J>
J где
I'* Х*/г \
-(г/ъ)щ 0 т*/г 1. (1.1. ZS)
_г-Щ ъ-'/г/
Тогда гамильтониан принимает вид
ш.и
При добавлении кубического нелинейного взаимодействия гамильтониан
переходит в
х-'Х,*т[(в,-а^(йса,)ъца,-а^} ш.о
и введенное выше преобразование дает
х-т"¦ •; • *; * г сз?; у х).
(й. 2. S)
С помощью преобразования подобия 21!2- 2 *№
t-+t/s1/l, Х-*бМгХ
(а. 2.6)
20
приходам к гамильтониану (^ ; ^ = ^ j
х=I (*vМ hWi)h-1 n
который представляет двумерное движение материальной точки.
Уравнение (1.2.7) и есть гамильтониан в модели, использованной Хеноном и
Хейлесом (XX) [1.9] при изучении движения звезды в галактике с
цилиндрической симметрией. Они численно интегрировали уравнения движения,
получающиеся из(1.2.7), т.е.
дх
h=ir=n- , ,
bf>z (л. г. г)
ЭХ эл о
Это движение можно представить с помвщью траектории в четырехмерном
фазовом пространстве (). Фигура, созданная из точек, в которых траектория
пересекает двумерную плоскость в фазовом пространстве, называетсн
отображением Пуанкаре, или поверхностью сечения Пуанкаре. Когда энергия
мала, отображение создает гладкие кривые, как показано на рис. 1.4,а. В
этом случае каждая траектория лежит на поверхности, которая отлична от
поверхности постоянной энергии, что указывает на существование другого
интеграла (так называемого третьего интеграла) помимо интеграла энергии.
Тогда о системе говорят, что она интегрируема. Однако,когда энергия
достигает определенного критического значения, появляются некоторые
области, где отображение траектории выглядит довольно беспорядочным
(очевидно стохастичным)'. Приведенное на рис. 1.4,6 множество точек
принадлежит одной траектории. Боли построить график площади такой
стабильной облаоти в завиоимооти от энергии, то получим (рис. 1.5), что
значение пороговой энергии еоть ?с - 0,11. Контрооулоо [1.I0J, Хенон и
Са-иго обнаружили подобное поведение у других оиотем о малым чиолом
21
Яг
04
03
02
01
О
-0,1
-02
-03
-а*
"I -1 -1 Г j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Со М *ч Q N N Се ^ 1 1 >3-1 1 >~г~ :
I -f/Ar • • •*
-0,4-0,2 0 02 0,4 0,0 -04-0,2 0 0,2 0,4 0,6-
Яг
а
Рис. 1.4. Отображение Пуанкаре для случая, рассмотренного Хено-ном и
Хейлесом. а - энергия ? = 0,08333; б - энергия Е = 0Д2500.
о о.ого,п о/х нов oi ок он о,к ots
Энергия
Рис. 1.5. Относительная площадь устойчивой области системы Хенона -
Хейлеса.
степеней свободы. Такое хаотическое поведение еде не вполне понятно
[l.'IlJ.
