Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тода М. -> "Теория нелинейных решеток" -> 7

Теория нелинейных решеток - Тода М.

Тода М. Теория нелинейных решеток — Высшая школа, 1984. — 262 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaneleneynihreshetok1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 52 >> Следующая

Так как периодичеокая цепочка из трех чаотиц о кубичеоким нелинейным
членом эквивалентна оистеме XX, можно ожидать, что, когда энергия меньше
порогового значения, движение в цепочке доступно анализу, оно тема
интегрируема. Однако, когда энергия превышает этот порог, появляются
хаотичеокие области, а когда энергия отансвится доотаточно большой, все
облаоти в фазовом пространстве становятся эргодичеокими.
Для цепочки о числом чаотиц, много большим грех, подобное отображение
веоьма трудно. Вмеото этого Форд изучал изменение раоотояния во времени
между двумя точками, первоначально очень
22
близкими в фазовом пространстве. Если две точки обозначить как
С; и (а(tm)а(tm)...,р;и,р°\.ш. \
то расстояние между ними будет г
Эта величина осциллирует, но если в среднем она увеличивается линейно со
временем, то две точки расходятся не слишком быстро и система
интегрируема. Если же расстояние в среднем растет экспоненциально со
временем, то система будет неинтегрируемой.
Такая численная проверка обнаруживает, что цепочки с кубической
нелинейностью или нелинейностью четвертого порядка в потенциале ведут
себя как неинтегрируемые эргодические системы, если энергия достаточно
велика.
Эргодические теории говорят о возможной запутанности траекторий
механических систем [I.I2J , и детальное изучение с помощью
вычислительной техники обнаруживает невероятную сложность форм
отображений. Все-таки взгляд на цроблему в целом сохраняется ясным, а
вклады численных экспериментов в эргодическую проблему будут в будущем
увеличиваться.
Задача 1,1. Показать, что потенциал, задаваемый формулой (1.2.7), имеет
оимметрию правильного треугольника.
1.3. 0ТК1ЫТИЕ С0ЖГ0Н0В
Для малых изменений ъ расстояния между смежными частицами обычно можно
разложить потенциал взаимодействия в ряд
ф(х)9!-?-г*+±.иг3+...
( U. - параметр нелинейности). Если положить U = 0 и пренебречь членами
высшего порядка, то получится линейнан цепочка. Далее, для гладких вслн с
плавным изменением ъ цепочку можно аппроксимировать континуумом. Если jl
очень мало, уравнения движения можно аппроксимировать с помощью (1.1.5).
Для очень гладких волн,
положив в (эс, Ь'), правую часть этого же
уравнения можно аппроксимировать выражением ath.z(d*''f / дэсг)} где А, -
среднее расстояние между смежными частицами и х= пк
-положение частицы. В таком континуальном приближении (1.1.5) вводится к
волновому уравнению m(dzy/dt волны
23
распространяются направо или налево оо скоростью
C?) = ^ vGe/'m .
[у. 3. 2)
Для волн, движущихся направо, введем подвижную координату
? = -п А- - с0 t [2-3.3)
и сохраним наинизшиЁ нелинейный член. Тогда волны можно описывать
нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных (ср. разд.
2.7)
iOL + U.JlL+f1 -i^ = 0, к-*"
dt dj*
где учтена кубическая нелинейность Ы * 0) ,11 есть величина,
пропорциональная 'Ь, и V - временная переменная, пропорциональная Ь .
Уравнение (1.3.4) было предложено Кортевегом и де Вризом [l.I3] в 1895 г.
для описания мелких волн на воде. Оно получило название уравнения
Кортевега - де Вриза (КдВ).
Около 1965 г. было отмечено, что некоторые волны в плазме описываются
уравнением КдВ, и это уравнение было изучено численно, так как общего
аналитического решения не нашли. Таким образом Забуски и Крускал [I.T4J
открыли, что волны, описываемые уравнением КдВ, состоят из особых
импульсов. Каждый импульс есть частное решение уравнения КдВ и имеет ввд
и,^=ив + Я -)скг[(t-c't)/А],
(з 3. У)
h =cf 'Гы/
Было обнаружено, что, когда два таких импульса сталкивались, они
проходили один сквозь другой (или поглощались, или испускались) и вновь
принимали свою начальную форму. Так как импульс имел свойство,
уподобляющее его стабильной частице, его назвали оолитовом, что означает
одиночную волновую чаотицу.
Как будет показано далее, в нелинейных цепочках также имеются солитоны.
Около 1965 г. Висшер и др. Cl,15] численно изучали распространение волн в
нелинейной цепочке, и уже из их результатов можно было прийти к выводу о
существовании солитояов, однако мы смогли осознать это линь позднее. Они
использовали по-
тенциалы типа Леннард-Дхоноа и изучали пвреноо энергии или
теплопроводность. Для одно- и двумерных решеток оо многими примеоя-ми
разных маоо они наили, что переноо энергии обычно увеличивается из-за
включения во взаимодейотвие нелинейных членов. Такие результаты могли
быть поняты линь о помощью предположения,что энергии аккумулируетоя в
форме оолитонов, которые распространяются без больиих помех со отороны
неоднородностей.
1.4. ДУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
К депочке с экспоненциальным взаимодействием, главному предмету изучения
зтой книги, автор пришел в результате поиска модельной сиотемы оо строго
периодическими решениями, на существование которых указывали численные
расчеты Форда. При этом ока-залаоь очень полезной концепция о дуальных
системах. Говорят, что 'системы Ли В дуальны, еоли 0 получается из Л
замещением частиц на пружины и пружин на частицы по определенным
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed