Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
условиях, когда движение коиечне. Для этей цели введит-оя дискретное
волновое уравнение для волны, рассеянней движением в цепочке; это так
называемый метод обратной задачи рассеяния. Обсуждается также и другой
метод решения обратной задачи для конечной цепочки, использующий
сохраняющиеся величины.
В гл. 4 рассмотрена задача с начальными данными для периодической
цепочки. Для нахождения решения обратной задачи, имеющей параметры,
подлежащие определению из начальных данных, используется дискретное
волновое уравнение с периодическим потенциалом, его спектр, а также
дополнительный спектр. Так как общее решение слишком сложно, представлены
некоторые конкретные задачи, включающие получение кноидальной волны из
сднсзсннсгс спектра, расчет спектра для движения с малыш амплитудами, а
также детальный расчет трехчастичной сиотемы.
Гл. 5 снова начинается с трехчастичнсй системы, где уравнения движения,
следующие из общих принципов механики, интегрируются с помощью
определения переменных действия и углевых переменных, которые
характеризуют кваэиперисдическое движение в цепочке. Приведен простей
пример.
Приложения, комментирующие некоторые места, добавлены пс порядку
следования в тексте.
Интересные, но не рюшеиные аналитические задачи, явления, обнаруженные
лишь при численных расчетах, смежные проблемы физики твердого тела и
теории поля не рассмотрены, так как списание ограничено строго
аналитическими методами. Например, здесь не рассматриваются такие
вопросы, как распространение волн в цепочке с примесью или с примесями,
возможность существования локализованных мод, нелинейные решетки белее
высоких размерностей, отражение волн на свободной конце цепочки, явления
последо-
12
вательного разрушения в модифицированной нелинейной цепочке, чио-ленные
эксперименты по хаотическому движению общих нелинейных цепочек и
эргодическая проблема. Квантование нелинейной цепочки остается также
проблемой будущего.
При написании этой книги я обращался к написанным мною статьям и обзорам,
е также к записям курсов лекций, прочитанных в некоторых университетах.
Это английский перевод книги, первоначально изданной в Японии в 1978 г. В
настоящем издании пересмотрены некоторые разделы и кое-что добавлено для
лучшего понимания.
Исследования, связанные с темой книги, юлучили значительное развитие за
время, прошедшее с 1978 г. В основном они носили математический характер
и выходили за рамки текста. Поэтому в этом издании добавлены
библиографические ссылки на последние работа.
Ыне доставляет огромное удовольствие выразить свою признательность за
понимание и поддержку профессорам Г.Вегеланду, Н.Забуски и Дж.Форду. Я
благодарен также моим коллегам и друзьям за их помощь, особенно
профессору Т.Котера и членам семинара, который я веду в течение многих
лет.
Я хочу поблагодарить сотрудников издательства "Шпрингера за большую и
пенную помощь в ходе публикации книги. Я также обязан г-же М.Охиои за
прекрасную работу по перепечатке рукописи.
Январь 1981
Морикацу Тода
Глава 1 ВВЕДЕНИЕ
Строгое рассмотрение колебаний в нелинейных цепочках стало восприниматься
всерьез в начале 1950-х годов, когда Ферми, Паста и Улам (ФЙУ) численно
изучили проблему перехода к равнораспределению энергии. Для линейной
цепочки нормальные моды колебания взаимно незавиошш, и обмена энергией
между этими модами нет. Ферми и др. считали, что если ввести нелинейнооть
взаимодействия, то между этими линейными модами должен возникнуть поток
энергии, что в конце концов и приведет к равнораспределению энергии, как
этого требует статистичеокая механика. Они хотели проверить это
утверждение о помощью численных экспериментов. Однако в противоположность
их ожиданиям оказалось, что перераспределиетоя ливь самая малая чаоть
энергии. Было найдено, что такие сиотемы периодичеоки возвращаютоя к
овоему качельному соотоянию. В этой главе мы начнем именно о данной
проблемы - опивем ее характерные оообенности, а также сформулируеи
исходные теоретичеокие положения.
1.1. ПРОБЛЕМА ФЕРМИ - ПАСТА - УЛАМА
В этой книге изучается классическая механика одномерных решеток
(цепочек), в которых частицы, их образующие, взаимодействуют только с
ближайшими соседями. Ограничивая рассмотрение только однородными
системами (без примесей), обозначим через тп массу каждой частицы, через
- смещение п-й частицы и через Ф (f-n.fi потенциал взаимодействия
между соседними частицами
(потенциальную энергию пружины). Тогда уравнение движения принимает вид
WV./<"'> (*-¦>-*. w,-),
С*. 1.1)
¦14
где <f>' есть производная <f>. Таким образом,
(l.i.z)
есть омла, с которой действует пружина, растянутая на величину г . и
есть относительное смещение.
Когда сила -f(t) пропорциональна смещению %¦, т.е. когда выполняется
закон Гука, говорят, что пружина линейна, и потенциал может быть записан
как
Обычно под понимают продольное смещение. Хотя для иллюстрации более
удобка поперечная водна, предотавить наглядно соответствующую ей
