Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
нелинейную силу довольно трудно. Более подходит представление о
крутильных колебаниях системы стержней или дисков, связанных нелинейными
пружинами (рис. 1.1). В зтсм случае w обозначает момент инерции и у^ -
угол поворота.
Если и ~ решения уравне-
ния (1.1.5), то их динейнан комбинации
есть также решение линейного уравнения (1.1.5). В частности, когда
частицы п = 0 и*=/+ 1 фиксированы,
(fк
(1.1. 3)
(1.1. 9)
Тогда уравнения движения принимают вид
(i. i. s)
(i. i. (,)
ч (t(b) ^ ^ t+fl^
(1.1. J)
15
Уп Уп*т ^
- -VWV-0~A,W\/-°-/\ЛЛЛ/-°~ЛЛАДг-о-АДЛА/-
77 77-7 7
Рис. Z.I. Модели одномерных цепочек.
есть А/-я нормальная мода, и общее движение задается линейной
суперпозицией таких мод. Амплитуда С", каждой йоды является постоянной,
определяемой начальными условиями. Между модами нет передачи энергии.
Поэтому линейная цепочка неэргодична . Такую систему нельзя изучать в
рамках статистической механики, пока в нее не внесены некоторые
модификации.
Здесь мы не будем вдаваться в тонкости проблемы эргодичности. Скажем
сразу, что для приближения к эрогодичности нужно модифицировать линейную
цепочку следующими способами: 1) доба-
вить нелинейность во взаимодействие; 2) ввести в цепочку приме-ои; 3)
рассматривать решетки большей размерности. Кратко поясним изложенное. I.
Б реальных криоталлах фононн рассеиваются друг на друге за счет
нелинейности, которая, как считают, ответственна за конечную
теплопроводность яри выооких температурах. Обычные теории, включая теорию
Пайерлса, неудовлетворительны с фундаментальной точки зрения, потешу что
они допускают необратимость с оамого начала. 2. Примеси могут обусловить
некоторый эффект, педобный поглощению и испусканию электромагнитных волн
атомом, введенный Планкам при обсуждении теплового излучения.
3. Двумерные и трехмерные решетки относятся к проблемам будущего.
Однако" как мы увидим позднее, даже в одномерных цепочках нелинейность
взаимодействия и примеси могут привести к явному эр-годическому
поведению.
Ферми в молодости занимался проблемой эргодичности, и когда были
усовершенствованы ЭВМ, он вернулся к этой теме как к одной из задач,
которую можно было решить с помощью компьютеров.
Он думал, что если добавить нелинейный член к силе, действующей между
частицами в цепочке, энергия будет перетекать от моды к моде, что в конце
концов приведет систему к состоянию статистического равновеоия, в котором
энергия равномерно распределена между линейными модами
(равнораспределение энергии). Именно эти ожидания Ферта и др. ?[•?!
надеялись подтвердить с помощью численных экспериментов.
16
Они проводили испытания с разными потенциалами: один о сдержал кубичеокий
член (- конотанта нелинейности)
в другой был включен член четвертой степени (=i' - константа
нелинейности)
аг , гел' L . ,
<f> Ы =-2~Ъг + ~у- г* (1.1.86)
и третий представлял линейную оилу с куоочно-постоянным коэффициентом
(эе. ф as' обе постоянные положительны)
(г0*\ъ\).
Оказалось, что результаты для всех трех случаев, качественно подобны.
Ферми и др. рассматривали цепочки с чиолом X,- равным 32 и 64; оба донца
(№=0ия-=У+1) были закреплены. В начальный момент времени цепочка
покоилась, а начальные смещения были
ттп.
и, (о) = В ----------------------------------------------------- (1-1.3)
<f п-
То есть они возбуждали наинизиую моду. Пример временного изменения
энергии каждой моды псказан на рио. 1.2. Как видно из рисунка, только
небольшая часть (около 10%) переходит от к Ел, ?л и т.д., и через
определенное время почти вся энергия возвращается начальной моде.
Смещение каждой частицы также возвращалось к начальному значению, как
показано на рис. 1.3. Это и есть так называемое явление возврата ФПУ.
Численные эксперименты иногда цриводят к неожиданным результатам, и
обнаружение явления возврата ФПУ - один из таких результатов. Он был
проверен многими исследователями[1.2 - 4] . Можно
17
Рис. 1.2. Явления возврата ФПУ.
Рис. 1.3. Повторение формы волны (числа обозначают время, единица
измерения времени здесь отличается от таковой на рис. 1.2).
утверждать, что если энергия невелика и если начальная форма волны
достаточно гладка, то будет иметь место явление возврата. Забуски [1.5]
суммировал результаты в эмпирической формуле, которая гласит, что, когда
вначале возбуждена наинизвая иода, время возврата Ьг даетоя в виде
u'ilz ,
t
/иГв
где Ь i - время, в течение которого волна с большой длиной волны проходит
туда и обратно вдоль цепочки из Jf частиц при закрепленных концах (или
время, необходимое для того, чтобы волна обошла замкнутую цепочку из 1К
частиц), т.е.
Ьь=---2К/4Х/'ГУ1'- (i.i.a)
Мы сможем объяснить (1.1.10) в терминах движения солитонов [l.6j (op.
разд. 2.7).
На основании численных экспериментов Саито (ср. приложение 3) нашел, что
если первоначально возбуждены высшие щорн (например, о I = 11), то
равнораспределение энергии среди мод происходит внезапно спуотн некоторое
время, названное периодом индукции. Эта тенденция яоно проявляется, когда
