Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
цепочек атомного диаметра (расстояние иежду атомами внутри одной цепочки
меньше, чем расстояние между атомами в разных цепочках). Слабое
зацепление между цепечкаии отвечает как бы слабей трехмерности. В этих
веществах, как показали экспериментальные и теоретические исследования,
все нелинейные эффекты выражены гераздо более отчетливо, чем в обычных
трехмерных веществах Г'Ю, 'III. Это можно понять на основе чисто
качественных соображений. Дело в том, чте почти во всех одномерных
моделях многие нелинейные возбуждения ,!бесщехевыеп, тогда как в
трехмерных моделях многие типы нелинейных решений, присущие одномерным
системам, отделены от энергии основного состояния большой щелью в спектре
и их трудно возбудить, а значит, они либо отсутствуют вообще, либо их
роль незначительна. Из множества своеобразных проявлений нелинейности в
квазиодномерных системах упоиянем здесь лишь два. Оказывается, что
перенос тока в них осуществляется не посредством элементарных возбуждений
(т.е. электронами), а с помощью нелинейных волн зарядовой плотности СП],
Далее, в полиацетилене, например, в качестве носителей тока выступают
солитоны, причем эти солитоны могут быть заряженными, но обладать нулевым
спинсм или обладать спином, но не нести заряда [HJ. Перечень
нетривиальных проявлений нелинейных эффектов можно было бы, конечно,
продолжить, сднакс уже сказанного, пс-видимсыу, достаточно, чтобы понять,
сколь важное месте занимает теория нелинейных явлений вс всех разделах
современной физики.
Перейдем теперь непосредственно к обсуждению содержания книги М. Тоды.
Выше уже отмечалось, что фактически в ней идет речь об одном из разделов
физики твердого тела - колебаниях кристаллической решетки, но в условиях,
когда сильную роль играет ангармонизм. Морикацу Тола впервые нашел такую
одномерную модель ангарионшзма (сна получила впоследствии название
"цепочка Тоды"), которая допустила строгое аналитическое рассмотрение из-
за полней интегрируеиости соответствующих динамических уравнений. Это был
первый случай, когда удалось решить бесконечную систему нелинейных
уравнений в частных разностях. В книге при-
7
веден целый класс рененяй типа нелинейных волн, найдены солитон-ные
ренения (в том числе н многосолитонные).
Однако содержание книги этим не исчерпывается. В ней описывается целый
ряд важных методических достижений, значение которых далеко выходят за
рамки теории колебаний нелинейных цепочек. Очень интересна схема метода
обратной задачи теории рассеяния применительно к дискретным (а не к
континуальным) системам. Фактически речь идет о задаче Кошн для
периодической цепочки. В то время как в случае бесконечной цепочки
применение метода обратной задачи рассеяния приводит к дискретному
уравнению Шредии-гера,для замкнутой (периодической) системы получается
дискретное уравнение Хилла. Вместо данных рассеяния автор рассматривает
более удобные для расчетов спектры дискретного уравнения Хилла и
вспомогательный спектр для фиксированных граничных значений того же
оамого уравнения. При таком способе рассмотрения важную роль играют
фундаментальное решение я диокримяжаит дискретного уравнения Хилла, а
задача с начальными данными сводится к обратной задаче Якобм, или к
обратной задаче спектральной теории. Ее изучение требует применения не
совсем обычных для физиков математических методов - спектров на
комплексных поверхностях и интегралов на замкнутых римановых
поверхностях. Однако непривычные математические построения подробно
иллюстрируются таким простым примером, как случай кноидальиой волны. В
книге изучена также важная, хотя и простейшая система из трех частиц, так
как она показывает почти все характеристические черты системы с многими
частицами. Большой методический интерес представляет и обсуждение
возможности применения к нелинейной цепочке схемы Гамильтона - Якоби в
переменных угол - действие. Как уже отмечалось выие, это открывает
возможность последовательного квантования нелинейных колебаний. Было бы
очень интересно выполнить до конца такую программу и для цепочки Тоды.
К несомненным достоинствам книги следует отнести методически удачный
стиль изложения, а также наличие библиографии, охватывающей период до
1980 г. включительно. Автор широко использует и цитирует работы советских
авторов, внесших крупный вклад в развитие данной области. При переводе
библиография расширена за счет включения работ, появившихся в печати
после 1980 г.
Для советского чштателя книга Тоды может стать прекрасным дополнением к
монографиям и обзорам, о которых речь ила выше. Впрочем, этот перечень
был бы неполным, если не упомянуть здесь о вышедшем за рубежом в 1982 г.
сборнике под общим названием "Интегрируемые квантовые теоршш поля" [123.
Большое внимание в
8
ней уделено именно квантовой обратной задаче теории рассеянии о
использованием "анзатца Бете". Помимо очевидной ценности для теории
элементарных частиц этот подход открывает новые методические возможности
