Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тода М. -> "Теория нелинейных решеток" -> 8

Теория нелинейных решеток - Тода М.

Тода М. Теория нелинейных решеток — Высшая школа, 1984. — 262 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaneleneynihreshetok1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 52 >> Следующая

правилам.
В случае гармонической цепочки более тяжелые (легкие) частицы можно
заменить более слабыми (сильными) пружинами таким образом, чтобы
нормальные моды частот были одинаковыми в обеих сиотемах [1.16]. Тогда
оистемы дуальны (рио. 1.6).
Можно обобщить идею дуальных оистем с помощью следующего построения.
Гамильтониан, дающий уравнения движения (1.1.I), есть
[1.177
(*¦ *¦ 1)
где импульс получается из кинетической энергии
(л.Ч.х)
дифференцированием К по окороотн
дК
(1.9. з;
Теперь возьмем в качестве обобщенной координаты взаимное смещение хл. Для
краткости предположим, что крайняя левая чаоти-
25
o-^RRP-о-'TreW'i-о-ЛШПГ1-о-ПЯЯЯГ'-о д
VvV-o-ЛЛЛЛЛ-на-ЛЛЛЛА-су-ЛЛЛЛЛ-о-ЛАА/ S Рис. 1.6. Соотношение между
дуальными системами. цай = 0 закреплена. Тогда имеем
if с ~ У1 ~ ^ с' у /2 ~ ^ о h ^ 1 > ¦ ¦ >
(*. 9. 9)
i ' •'
и для цепочки с л' подвижными частицами У-J , (г
х = Т 2- >^(4,+ *•... 1.^), f J. у
¦п-0
Импульс сопряженный у .определяется из соотношения
ЭК
,?г с t-
*/V V"'* **jJ' (**¦<)
Поэтому имеем
4*-Г*п=г77* > ^.V.y".)
^^ = 07 (3-9.16)
и гамильтониан превращается в
Канонические уравнения движения оледующие;
, ЭХ ^ ? "3 ть^ *f.$)
= д>п ~~ ^
Огть
Если исключить зп из этих уравнений, то получится уравнение w bt, " ^
Yft. 9. it)
которое, однако, есть разность между (1.1.1) и уравнением, в котором ть
заменено на#+ 1, и поэтому оно не является новым уравнением.
Если уравнение (1.4.10) можно обратить, то
Тогда, исключая^ из (1.4.9), получаем уравнение
-- У ) = А -Z 3 + 1 (t. 9./3)
A- ( J -n- / ''я. я-х '
Это уравнение дуально уравнению (1.4.11), Еоли принять <3^. за
"смещение", то правую часть (1.4.13) можно интерпретировать как ои-лу
линейных пружин и в левой части как импульс, сопря-
жений "скорости" 3rt. Тогда оказывается, что уравнения (1.4.13) являютоя
уравнениями механического движения.
Сила j пружины связана о бп соотношением
"Л,
)- V , fX9.J9)
и уравнения движения (1.4.11) можно перепиоать в виде
Аг
~jtl t (fib ) (r)~2f*, + flt-l • (*¦ JS>
27
Далее, введем интеграл от о ;
t
(4. f. JVj
Выбирая подходящим образом постоянную интегрирования, из (1.4.9)
инеем
($-п+± $<п-± ); (*¦ *¦
i
*("п- ~ т уравнения движения принимают вид
, { с - 2 S + S ¦ (-1.9. if)
Задача 1.2. Пусть масоы и поотсянные пружин двух гармонических цепочек,
кТ9,п.->хп) и (тп^ , зе. ^ ) соответственно, удовлетворяют соотношению
m х.* = ~ ceivxt- ('п')•
71 тг- п- п-
Покажите, что частоты для всех нормальных мод этих систем совпадают.
Далее, покажите, что свободный (закрепленный) конец е'ио-темы
соответствует закрепленному (свободному) концу дуальной системы.
Указание: выпишите гамильтонианы.
Задача 1.3. Выразите уравнения движения в терминах , когда потенциал
взаимодействия ф(г) гиперболический: ф(ъ)=и.Фр + г*-' ( J- и /5 -
константы).
Замечание: в этом случае импульс имеет релятивистский вид.
Задача 1.4. Убедитесь, что если к цепочке приложено постоянное внешнее
давление )-/ , то (1.4.13) переходит в
^ ^ (^п-+ ^ ) -
Указание: к (1.4.8) следует добавить потенциальную энергию
28
Глава 2 ЦЕПОЧКА С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
В предыдущей главе было показано, что нелинейные цепочки, изучавшиеся
Ферми и др., ведут себя периодически , по кра'йней мере когда энергия не
очень велика, и что в нелинейных непрерывных оистемах распространяются
устойчивые импульсы (солитонн).
Эти факты показывают, что должна существовать некоторая нелинейная
цепочка, которая допускает строгие периодичеокие волны, а определенные
импульсы (солитонн цепочки) будут устойчивыми. В настоящей главе ведутся
поиски такой цепочки и показывается, что цепочка с экспоненциальным
взаимодействием допускает строгие периодические решения и солитонные
решения. Описываются также двух-солитонные решения. Исследуются система
твердых сфер как предел резко меняющихся сил отталкивания и континуальный
предел для гладких волн. Далее обсуждаются применения теории цепочки
нелинейной электрической линии и формулируются некоторые обобщения.
В конце указывается, что цепочка с экспоненциальным взаимодействием имеет
много сохраняющихся величин помимо импульса и энергии, и это служит
базисом для построения следующей главы.
2.1. ПОИСКИ ИНТЕГРИРУЕМОЙ ЦЕПОЧКИ
Чтобы пролить свет на характерные особенности, присущие волнем в
нелинейных цепочках, мы отарались найти такую модель цепочки, которая
допуокает чаотные решения о нирокой облаотью прн-менинооти.Инелооь в виду
подмокать такую потенциальную функция </>(*), которая допускает
интегрирование уравнений движения (1.1.1). Уравнение (1.1.1) или, что
эквивалентно, (1.4.11) общеизвестно, но казалооь трудным найти из него
требуемый потенциал ф (г). Наоборот, уравнение (1.4.13) можно
рассматривать как рекуррентную формулу, с помощью которой оцределяетоя з
, если известны 3 s и о ^ и производная от функции зп , которая овязана с
обратной функцией потенциала ф(*Ф Требуется также, чтобы потен-
29
циал имел физический смысл, так чтобы он действительно соответствовал
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed