Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
механической системе с широкой областью применимости. Много функций о.д и
4>(г) были испытаны при этих условиях, прежде чем удалось обнаружить
комбинацию, которая удовлетворила бы (1.4.13) [2.1] .
В случае гармонической цепочки типичные периодические волны являются
синусоидальными или тригонометрическими. Поэтому думать об эллиптических
функциях как о возможных типах решений было совершенно естественно,
потому что в определенной смысле они являются обобщением
тригонометрических функций. Однако волны, пропорциональные функциям Якоби
on или сп , не* могли дать правильного ответа.
Между тем мы обратили внимание на формулу сложения для onh
которая ведет к отыскиваемой цепочке. Теперь, используй равенство
dnlU ^ 1-кг-)пги.,
определим функцию
iC
? (и) - j (drtzи)с/ос} с
чтобы получить l' f ос) - dft-
е" (ic)--2к* W ос сп и- chc и
(2 i.z) (*.*. Ъ)
( 2. J. <,)
(r) // * j
? (и) / -j
Хотя t (и) - непериодическая функция, функция Якоби %п ({ -функция),
определяемая соотношением
X (tc) = ? (<*¦) ^ j (2.1.6)
есть периодическая функция с периодом 2 К , где К и Е - полные
эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.
Переписывая (2.1.5), получаем формулу
(и.-*)-21 (")-¦?** [г* Т/т\-1'Е/К--------------l("i
(2.1,4)
которую нужно сравнить о (1.4.13). Видно, что (1.4.13) удовлетворяется,
если положить
(2.1. if)
1Г = 1Х/л,
где ^ (длина волны) и 2 (частота) есть постоянные, и отождествить н тС с
выражениями
2X2
гt /7Г>
-гм
1 +
i'/тп
(2Xff
1 ftfbz V - 1+Е /
(2.1. 2)
' 6, (2. ± Ю)
где 4 и 6 - константы. jL(^) есть обратная функция потенциала $=ф(х) и не
должна содержать V и V . Отсюда следует, что множитель перед -б в
(2.1.10) есть постоянная, не зависящая от \1 и гг. Поэтому должно
выполняться соотношение
31
(гкч)
-s.
7n
'in.
'¦(2Х/Г)
-It
к
> (2.1. il)
где CO - константа. Чтобы правая часть была полонительна, нужно
потребовать а4т-0 .
С помощью (1.4.12) и (2.1.10) получаем
X = -
Xn.(i*0
t ё
(2.1,12)
при лг, = Ъгь . Обращая (2.1.12) и используя (I.4.I0), инеем
-О = <20 ji
-/(г-6)
е -1
= -ф ' (ъ).
(2.1. йЪ)
Следовательно, в качеотве потенциала мы получаем функцию с тремя
параметрами со 4 и ё , которая может быть записана в виде
со -?(*-&) +
(j>(t) =¦-g е. + a'ttccn&t-f
(2.1.19)
или
4г
ф(х) = Яе.~ +О.Х-.
(2.1.1S)
Задача 2.1. Вычислить ?(6) в уравнении (1.4.12) для потенциале,
задаваемого выражением (2.1.14).
2.2. ЦЕПОЧКА С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
Если за начало координат Ъ = 0 взять положение минимума ф>(%)} потенциал
(2.1Д4) примет вид
СО - / я \
j>(x) = ~j-e. tat. (а,€>о).
(2.2.1)
32
В дальнейшем это простое выражение будем использовать в качестве
потенциала взаимодействия. Соответствующую цепочку с экспоненциальным
взаимодействием часто называют цепочкой Тоды.
Потенциал (2.2.1) при а-? 4^0 дает сильное отталкивание и слабое
притяжение, как показано на рис. 2.1р. Вблизи минимума действует
гармоническая сила, а с увеличением расстояния проявляется нелинейность
силы. Таким образом, потенциал отражает природу физических межатомных
сил. При СХ1 4 О потенциал дает слабое отталкивание и сильное притяжение,
как показано на рис. 2. ip. Далее мы остановимся на случае а, 4^-0, но
подобным же образом можно обсудить и случай а., 4 0.
Если разложить (2.2.1), предполагая 1 малым, получим
а 4 г а j ф(ъ) = сеги?+ -х ^ + • (гг2)
Таким образом, при достаточно слабых отклонениях цепочка выглядит как
линейная цепочка с постоянной пружины *=0.6. (2.2.Ъ)
Для несколько больших отклонений параметр нелинейности из (1.1.8)
задается выражением
(м-*)
В пределе очень большого 4 получается система твердых сфер (стержней).
Цепочка с экспоненциальным взаимодействием есть модель системы, которая в
двух предельных случаях описывает гармоническую цепочку и систему твердых
сфер, и она имеет то достоинство, что если получено частное решение, то
оно применимо также в этих предельных случаях.
Если к цепочке приложено внешнее давление f, что эквива-
Ф(г)
Ф(г)
ФМ
Рис. 2.1. Экспоненциальный потенциал; (а) а-, 6г0; (б) а.,4<0') (в) 4
довольно велико.
33
лентно добавочному потенциалу jx, выражение для потенциала взаимодействия
нужно просто заменить на
ф(г)=~е^ + (сс^)г, U.Z.S)
где соответствует сжатию, a /<(?- растяжению. Что касается (2.1.15), то в
случае одномерной цепочки можно считать, что член лх появляется благодаря
постоянной внешней силе и все взаимодействие сводится только к
оггалкивагельному потенциалу fje^zp(-Si). Далее, в (2.2.5) ct + j- можно
считать притягивающей силой, и,когда /=ccnot, взяв постоянные а 6 \
такие, что
(2. 2. 6)
можно (2.2.5) переписеть в виде
ф(ч)
а е"г'6'>+*'ъ.
4
(2.2. ?)
Это означает, что посредством земены си не а.' и сдвига начела координат
г на -б' внешнюю силу можно включить в экспоненциальный тип
взаимодействии.
В любом случее второй член в (2.2.1) дает постоянные силы, действующие не
каждую частицу сс стороны левого ш превсго соседей; они поэтому
