Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
нейтрализуются и не появляются в уревнениях движения. В семой деле,
принимая потенциел (2.2.1), имеем из (1.1.1) и (1.4.11) следующие
уревнения движения:
т
-а
(2.2.2)
7П
dz7;
dt'
-а
2е. -е л -е
71 + 1
( 2.2. 9)
34
Для эквивалентного дуального выражения (1.4.13) дает
И ли
(2.2.11)
Дифференцируя последнее уравнение, имеем
Интегрируя, при подходящем выборе постоянных интегрирования [2.1а, 2J,
получаеи
Это и есть уравнения движения для цепочки с экспоненциальным вэа-
имодейотвием. Сила, действующая на чаотицы в цепочке, задаетоя с помощью
(1.4.14):
В следующих разделах мы исследуем некоторые частные решения полученных
уравнений.
2.3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Имеется периодическое решение, задаваемое (2.1.9). Дифференцируя его по
времени и используя (2.2.14) и (2.1.6), получаем периодическое решение в
виде
In (l * - 777 (Xi-4 ~ZSn, + ). (2.2.1Ъ)
(ZKvf
a-^/m
jin'
e
35
где длина волны Л произвольна, а частота V связана с А соотношением
(2.1.11), или
2Kv , (2.3.2)
что является дисперсионным соотношением для этой волны. В приведенных
выше уравнениях К и Е - полные эллиптические интегралы соответственно
первого и второго рода; они определяются как
г/г J л J
к=к(юА г =1=-*\ г- -
п Л1 ' xfTJJTTZTtT^ . */777ZT^rrr-^r\ 1
' J \f(i-ocz)(i-kzx.' 0 o'
i
n/i____________________________________ c / i-L-*-
E=E(k)=[ {l-k2*UbZ0Je=\ V i-xz dx' (2'^6) о 0
Когда модуль k мал, амплитуда периодической волны мала и волна очень
похожа на синусоидальную волну. Когда к уже не мало и приближается к
единице, гребень волны становится крутым и впадина становится очень
плоской (что похоже на волны на поверхности воды).
Функция Якоби dn может быть выражена через с 7V . Как было отмечено в
разд. 1.3, в континуальном приближении волны в цепочке могут быть
аппроксимированы волнами уравнения КдВ, а периодическое решение этого
уравнения, полученное Кортевегом и де Вризом, было выражено через
функцию с-л . Они использовали термин кноидальная волна
( подобно тому как oi-n-волна названа сину-
соидальной волной). Можно показать, что для доотаточно малой амплитуды
периодичеокая волна (2.3.1) совпадает о кноидальной волной уравнения КдВ.
Поэтому периодическая волна (2.3.1) называется кноидальной волной
цепочки.
Когда модуль к близок к нулю, имеем ? /К - l~l<z/ Z.
Отоюда (2.3.1,2)дают приближенно
1 = - оо (at * -Ц2. )> "• 3 *"->
U) = 2fT)/^4 "п 36
- /я, (г.ъ.ч*)
¦т /
что отвечает синусоидальной волне. Разлагая правую часть (2.3.1) в ррг
Фурье, получаем
JnZ(2xK)-yr=-yj L
Z col 2irXx К~ К1 fa ^ (UK'/К)
7 (2.3.S)
где х = tv/x ± \> а К' определено в терминах дополнительного модуля к'
как
х'=к(к'), k' Al-k1'.
(2. ЗА)
Приведенную выше периодическую функцию можно также представить в виде
if-
тогда кноидальную волну запишем как
ПК
К
7 (*-?)
41
2КК С2.1 /)
/ >
-Un, . (tm) (у
1 =
где
р зс-И [и (¦п-Я'С)~Р
А=ТГК/ЛК', р = 7гК'>/К'.
(2.3 8 а.) (2. 3 8<?)
Уравнение (2.3.8а) гласит, что кноидальную волну можно рассматривать как
ряд импульсов (вида ЗС-&*), расстояние между которыми равно длине волны А
.
Пример формы волны и дисперсионного соотношения для кнои-дальной волны
показан на рис. 2.2 и 2.3. Дисперсионное соотношение похоже на
дисперсионное соотношение для гармонической цепочки.
Функция С " введенная в (2.1.6), о вязана с ^ -функцией соотношением
37
Q74 dn*(2xK)-§(kz=tl99Z)
.5 J i.o \~x Рис. 2.2. Форма кноидальной волны.
ZKl(2xK) = ~jy^ 1Г0 (х)7
(2. Ъ. 3)
и кноидальная волна может быть выражена в терминах . Записывая из (2.1.9)
результат для Ъ п } имеем
•т d
ъ= ~т at
(2. ЪЛО)
Поэтому^ согласно (1.4.7а), для импульса частицы в кноидальной волне
получаем
7П d ,
771 у = --------- 'ьп.---- -7-------:---------- (2.3. Л)
ап / dt ^(^Ь'-п/л)
Задача 2.2. Покажите, что когда волновое число d/2 увеличивается на
произвольное целое число, кноидальная волна цепочки не меняется.
Указание: функция dlb имеет период 2К.
Задача 2.3. Имея в виду дисперсионное соотношение co-CJ (d/л) для
кноидальной волны, покажите, что
"(4~)=и/т)=и0*1г) = -,
а значит, нет необходимости рассматривать волны с меньшими длинами волн,
чем удвоенное среднее расстояние между частицами (Я*2).
Задача 2.4. Используя соотношения
с1п(рЬ ±1тъК)-^2ь(рЬ)1 38
dn[pt*(2nfi)X]=ctn(fit+K))
dn fat +K)=k 7dn (fit) (k '= ^77T;J
где П - целое, найдите выражение для кноидальной волны с минимальной
длиной волны Л = 2 и покажите, что
ггп=й*2ос, ггм = &-г*.
и что х удовлетворяет уравнению движения 7ПЭС = - 2 <Х '-ik 24х
Задача' 2.5. Покажите, что кьоидальную волну можно представить как
суперпозицию двух кноидальных волн с удвоенной длиной волны.
Указание: (2х, $'*)= Ч( (*, f)fe (х±
Задача 2.6. Покажите, что любую кноидальную волну можно представить как
суперпозицию кноидальных волн о длиной волны, равной произведению целого
числа на первоначальную длину волны.
л (a.l)
Указание:. '7 (х Ф ^/4, $') ¦
Задача 2.7. Покажите, что кноидальную волну можно представить как
