Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
суперпозицию солитонов, находящихся друг от друга на расстоянии, равном
длине волны (но скорость кноидальной волны определяется взаимодействием
между солитонами).
2А. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ [2.1а, 2]
Среди различных форы уравнений движения (2.2.8-13), наиболее поддаютоя
оценке, вероятно, уравнения (2.2.11, 13). Предполагая, что водна
распространяется без изненения формы, можно видеть, что эти уравнения
движения удовлетворяются, если
39
Ms (nx,*pt)+ cpn*t
'V
(2.9.Л)
ИШ
777
$.n = ~r 4* cK(xnb±pt^f (2. 9.2)
где
p = n/л 4/rri <Ms x ¦ (2.9. Ъ)
Так как линейные члены в произвольны, можно положить
т f ( ±1(хп±рЬ)\
^=-T^(i+e )¦ (2.f.4)
Это ведет к решению, отвечающему уединенной волне,
pZосА-г(*rvtpt)7 (2. 9. у)
которое подобно импульсу (всплеску),распространяющемуся со скоростью
/гк()
V -777 Ж "
С=/*/* " 777
здесь расстояние между частицами выбрано в качестве единицы длины. Чем
больше высота, тем меньше ширина {'-1 /ж ) и тем больше скорость волны.
Уединенная волна всегда распространяется быстрее, чем длинноволновые
колебания, двигающиеся со скоростью с0 =^а.?/'т'.
Численные расчеты показывают, что уединенные волны, задаваемые (2.4.5),
стабильны. То есть, даже когда существуют другие волны, например рябь,
уединенные волны не разрушаются. Как будет показано в следующем разделе,
когда две уединенные волны сталкиваются, они проходят одна сквозь другую
и восстанавливают овою
40
0,17 0,35 0,53 0,71
1,48 К(к)
(1,6858)
Рис. 2.3. Дисперсионное соотношение для кноидальной волны ( U = 0,5).
Рис. 2.4. Соотношение между солитоном и кноидальной волной.
первоначальную форму. Поскольку такие уединенные волны, задаваемые
уравнением (2.4.5), ведут оебя как отабильные частицы, они навиваются
солитонами (цепочки).
Правая часть (2.4.5) положительна, поэтому 0 (предполагается случай S^O).
Другими словами, в области солитона цепочка сжимается. Таким образом,
солитон в цепочке с экспоненциальной отталкивающей силой есть уединенная
волна сжатия. Рис. 2.4 показывает оп и &хр (~€х n,)~i для солитона и для
кноидальной волны, которая может рассматриваться как ряд солитонов (ор.
(2.3.8а)).
Из-за сжатия солитон имеет излишек плотности массы. Подста-ним (2.4.5) в
(1.4.17); тогда смещение у.п частицы в солитоне
41
задается выражением
2.(хп.-х- ±pi-)
tn = TL - * ctMt" а *•
Отсюда общее сжатие, вызываемое солитоном, есть
= Сг*г> и можно говорить о "массе" солитона, которая задается выражением
н ~ У~) - 2 (г 9. 9)
Задача 2.8. Покажите, что солитон (2.4.5) имеет импульо Р -Ис =2 тр,/4,
где с - скорость солитона, задаваемая выражением (2.4.6). Задача 2.9.
Энергию цепочки можно записать в виде
, г.-*--*>""> ?f>:-
Е =Е
71
Покажите, что солитон (2.4.5) имеет энергию ? = at oh ае -х);
предполагается, что на бесконечнооти нет раотяжения или сжатия. Задача
2.10. Покажите, что не существует решения типа
е*%п-4 =fZ~J.Z ad1 (xrt-pt)
(типа солитонной волны разрежения) для цепочки с экспоненциальным
взаимодейс твием.
цг
Задача 2.11. Покажите, что для цепочки с экспоненциальным взаимодействием
оуществует расходящееся решение типа
е ^Хп- - i = --Jl съсА*(хп -fit).
Замечание: это решение получается из солитоннсгс реиения (2.4.5), когда
переменная заменяется величиной I тт/2. (L = \f~T).
Задача 2.12. Покажите, что солитон (2.4.5) можно получить из кноидальной
волны (2.3.1,2) в :предеяе больших длин волнуя-""э, и больших модулей;к-
"1.
Замечание: в пределе к-Л шеей m tA и. , сЬъ и. с п и.-щс& сс. Таким
образом, гиперболические функции могут быть включены в эллиптические
функции. Их теоремы сложения нелинейны..
2.5. ДВУХСОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ [2.3, 4J
Обобщая солитонные решения (2.4.2) или (2.4.4), возьмем
&TL = ^ ] (2.5. Л)
или
д г[(х^хг)п-(р^/зЛ)Ь]\
+ я3е У, (г.5.J.)
где параметры Й, ЙЛ1Яг,Я;, Рл ? предполагаются функциями р^ и или хл и &t
. Между ними существуют овязи, например
1 гхл=рл+/<1, грл~п + гг, лл=яс*
(2. 5. ~b)
,2-;Хг- fi 1 ~ fiz } 2. fii -)fi ~ )Г2, > ^2.'~
Можно взять иди (2.5.1)^ или (2.5.2); но в дальнейшая будем использовать
соотношение (2.5.2). Подставив его в уравнение движения (2.2.13), видим,
что (2.2.13) удовлетворяется, если
43
г аё fz i рг
P> = - бп- x., д = - лг
• 1 тп *>• г т * '
(2.S.4)
В зависимости от комбинаций знаков pL и Д возможны четыре- случая. Однако
движения, симметричные относительно отражения (замена правого левым),
могу* рассматриваться как одни и те же. Таким образом, независимых
случаев два. Без потери общности можно предположить, что Хх ** ад =- 0.
Т) Случай, когда ддр>0. Запишем
р 1-\1а4/'гп> <&¦ , Д = /й^/тт? <зХ хг^
U з.у)
Й1Пг \*&[(хл-хх)/2]! 3
Чтобы определить форму волны, сначала рассмотрим обладть, где Y = хлгь-р1
t p^Q. (2 i 6)
Тогда имеем где
зег
Поскольку предполагалось, что зе ± имеем
= /ж^. поэтому ? -у 0, ив указанной
области
44
w / F/a * 1 U \
V7^V,j' > J (t-'H.
(2.S.g)
Подобным же образом для области n-ji^i-O имеем
И--К
Sn^u(i,n/^n'','i>) (t-l
Следовательно, асимптотически имеютоя два солитона, которые можно
