Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
записать в виде
- ^ (t-bi00), (2.J.10)
где фазовые сдвиги
fS? - {In h , s? - - { А- (йг /Я, I
В этом случае два солитона распространяются в одном и том же направлении
и один из них (a?f) догоняет другой (X ^). Массы солитонов и Hz
пропорциональны Х± и <э?г, и центр маос движется с постоянной скоростью
(рис. 2.5).
№
(V
7 V/
*77%
Центр масс
(П
п
О
еЬг"-1
t<0
0[д---------------------(3iS.------------Л
Рис. 2.5. Столкновение двух со-литонов, первый из которых дого-п няет
второй.
2) Случай, когда рхр^0. Если положить рх -= 0, получаем
р = 'icvf/rri <yL хл , /д - - s/aJ/m эХ хг ,
(2. 5. Л)
\cA[(xa-xz)/2] { 3-
Расчет, аналогичный приведенному выше, ведет к асимптотической форме
4сА*(*2 )
(2.SJ3)
46
где
<rM=T^A>
В атом случае оелштоян распространяются в противоположных направлениях я
центр явоо движется о постоянна" скоростью (рис.
(?)
(?)
XX
~Zi° \ "
(?Г ' \г)
sn Центр масс t<0
е°Гп -1
Л
(?)
(2)
t>0
e°rn-t
(Z)
2х_
(?)
Л:
Рис. 2.6. Лобовое столкновение двух солитонов..
При численном решении Саито и др. [2.5] обнаружили, что движение с
учаотием трех солитонов устойчиво; между тем Хярота [2.6], обобщая
(2.5.2), получил многосолитонные решения, содержащие более трех
солитонов. К многосолитонным решениям, которые можно вывести более
систематическим путем, мы вернемся в следующей главе. Уравнение (2.5.2)
содержит два экспоненциальных члена ш их произведение, включающее
взаимодействие двух солитонов.
В соответствии с этим можно считать,, что многосолитонное решение состоит
из существенно двойных соударений.
47
Задача 2.13. Оцените максимальную высоту &хр (-4гп)-1 при лобовом
столкновении солитонов одинаковой выооты.
2.6. ПРЕДЕЛ ТВЕРДЫХ СФЕР
Когда график силы отталкивания становится бесконечно крутым, а оила
притяжения отсутствует, нелинейная цепочка сводится к сиотеме твердых
сфер (одномерная цепочка сводится к твердым стержням). В этом случае
каждое соударение происходит независимо от других, причем, поскольку
имеется в виду оистема равных масс,
осуществляется только обмен скоростями. Следовательно, в координатах i,~x
( X обозначает положение каждой частицы) график состоит из прямых линий.
Другими словами, возможное движение представляет любой график из прямых
линий, если он удовлетворяет условию обмена скоростями. Таким образом, в
пределе твердых сфер движение одномерной системы легко понять.
Некоторые характерные черты нелинейной цепочки можно разоб-' рать при
рассмотрении движения в системе твердых сфер. Однако оуществуют и такие
особенности, которые отсутствуют в этом пределе. Например, в солитоне
движение частиц хорошо организовано и скоррелировано. В системе твердых
сфер, если имеются параллельные линии нескольких соседних частиц на
графике Ь ~ -х , движение осуществляется в форме импульса (всплеска), но
как солитон его рассматривать нельзя.
Когда в системе твердых сфер скорость придается только одной частице,
результирующее движение будет соответствовать со-литону в нелинейной
цепочке. Движение можно определить из аналитического решения уравнений
(2.4.1) или (2.4.5) в пределе 4 -'"о и а.~>0. Интуиция подсказывает, что
о,п в (2.4.1) должно стать ступенчатой функцией, а значит, аг ->"=>. Как
следует из (1.4.7), скорость каждой чаотицы
что представляет движение только одной частицы, когда
й-п отановится ступенчатой функцией. Сама скорость произвольна, поокольку
она зависит от способа осуществления предела CL-> О и 4 -" а> .
Рассмотрим предел твердых сфер в случае кноидальной волны ?2.1а, 2] .
График приобретает наглядный смысл, когда о по-
мощью приложения давления J -=¦ 0 к цепочке положение минимума потенциала
взаимодействия сохраняется и беретоя предел одновремен-
48
но для двух величин, <я/= a, +f->Q и /->">, так, чтобы величина . .
' i &
6--6 --ft* аЧ (2.6.1)
оставалась конечной. Тогда потенциал взаимодействия принимает вид
(2.2.7). Когда сохраняется частота и движение в системе конечно, из
(2.1.9) видно, что К(к)-> со (или модуль Jo-"1) при ж . С другой стороны,
ряд Фурье для функции X имеет
вид /
^ f -тгК'/К
Kl(2Kx) = 2f/IL f = e
(sl /
(2. 6. 2)
Беря предел к->1, имеем
f-i-t, ?=ГГг/2Х^1, (2.6.3)
и, если сохранять предельное значение
/t'w --- = ?* (2.6.^)
конечным, получаем предел твердых сфер для кноидальнЬй волны:
т'*пМ(л~т)=с?(л-*-/*)>
ис."
где
( d-Zx. (1)
9(х)~] ' (2.6.6)
(zlxl-i (-1-*Х^0)х
Таким образом, оказывается, что скорость частицы ^n-d ~ такая, как это
изображено на рис. 2.7 и 2.8.
ад
Рис. 2.7.
Рис. 2.8. Предел твердых сфер для кноидальной волны.
2.7. КОНТИНУАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ВРЕМЯ ВОЗВРАТА
Континуальное приближение получается из рассмотрения волны, дайна волны
которой очень велика но оравнению с постоянной решет-ки. Кратко опишем
метод аппроксимации. Для этой цели удобно ввести оператор сдвига [2.7]
± д/дп.
е / (ть) = / (п- ± 1J. (2. Y. 1)
Для цепочки о экспоненциальным взаимодейотвием уравнение движения по
отношению к ъ(п, {)= (^запишется в ввде
