Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
убедиться, что с4 совпадают с интегралами Хенона /• .
Из (3.1.7) непосредственно видно, чтс величины У
J (r = d,2,...,y) (3.1.22)
Г r j=i г
А
сохраняются, а 1^ могут быть выражены через J .
Задача ЯЛ. Пусть fyfijecTb /-компонента у(Ь). Покажите, чтс норма
сохраняется;
|*гы|*-? |^a)f Ч^Г.
Задача 3.2. Перепиште (3.1.19) в виде
М(2и-2ь) = (2*)А'+11ал)/г':'+...+ 1г=о
и в случае 22=3 убедитеоь, что 1 - интегралы Хенона.
TV
Задача 3.3. Проверьте справедливость следующих соотношений: Полный
импульс Р 2 ZL а ~ ,
^ 7Ъ
"п -2. ^ л 77* J? Q 71 ) гу ^ ^
^ ;
(1 Г J 1)гаГ -^П+1 ** Л ' .ПТ.
Полная энергия Н = Х-. -j- Р^ ^ е - < ^ Я
1т _ т _р if =±JZ-I = Н
2 ~1Г?> 2 JZ 2 х ^
3.2. БЕСКОНЕЧНАЯ ЦЕПОЧКА
Уравнение движения (3.1.7) эквивалентно уравнениям (3.1.15) и (3.1.17), а
именно
Lf = ЯУ, Я = оопл^, (3.2.2)
-Зи>. (3.2.2а,)
dlt Г
69
Чтобы убедиться в этом достаточно продифференцировать соотношение (3.2.1)
по времени, поокольку
Таким образом, приходим к (3.-I.7) [обобщение (3.2.2а) см. в разд.
В предыдущих рассуждениях мы можем добавить к матрице В произвольную
мнимую конотанту Lc00 , умноженную на единичную матрицу. Тогда 6 станет
антизрмитовой матрицей, В* = -В , а U и f следует умножить на (L сос В).
Как было показано в предыдущем разделе, для того чтобы ^ была постоянной,
матрица В должна быть антисимметричной (антизрмитовой). Так как f играет
такую же роль, как и волновая функция в квантовой механике, мы в
дальнейшем будем называть f волновой функцией. В то время как в
периодической цепочке мы можем ввеоти конечную норму 'f, в бесконечной
цепочке ввести нор-иу мы не можем.
В ряде следующих разделов мы раоомотрим цепочку, бесконечно длинную в
обоих направлениях. Формулы предыдущего раздела применимы в этом олучае,
еоли изменить нумерацию чаотиц о п- от 1 до У на л- от -м/2 до Лг/2 .
Тогда мы сможем оделать предельный
переход . Элементами матриц (3.1.5, 6) вверху оправа и вни-
зу слева при этом пренебрегаем. Таким образам, уравнения движения (3.2.1,
2) для бесконечной цепочки имеют вид [3.4]
Ч(п-1)+4п ч(ъ)1-а.гич>(п+1)=*Ч>(п),
В правую чаоть уравнения (3.2.4) мы можем добавить слагаемое вида
1и}0у('п) с произвольной величиной .
Раоомотрим движения, ограниченные в конечной облаоти цепоч-
(3.2.26)
или
(3.2.2 ?)
4.6].
Я = С("П, = • '
(3-Л 3)
70
ки, предполагая, что на больших расстояниях отсутствует движение.
Следовательно, если l-n-l ^>1, то О,
a^ = j, 4.^ = 0 (1п1*?1)} (3J.S)
так что (3.2.3, 4) сводятоя к
j[<f(n-x)+Y(n+i)J=* Y(n), (i^ °
(tfldll - - [if (rv-l)-^ (nti)J. (32.?)
dt 2
Таким образом, если опуотить постоянный множитель, асимптотика волновой
функции определяется выражением
х'П (*-Ок), (>¦'¦"
где
Я = (i + VJ) = ью k , (3-2.9)
-to = (t - Х'й) - ¦***- к, (3.1.Ю)
и так как -п - целее число, мы можем ограничить изменение к:
О^к^Я, -if Я=?1. (3-1И)
Если мы используем модифицированную матрицу В (умноженную на Leo е)г то у
(-tv) в (3.2.8) надо умножить на &xf> (i ы0 t).
Если i и I 5" й г асимптотичеокие формулы при п -> + в= имеют вид
(3.2.12)
где
7 (3.215)
В - ~ 1л ¦ (3.2.19)
2
Уравнение (3.2.12) определяет асимптотический вид волновой функции
некоторого связанного состояния с (Z.J/1, так чтоУ-> 0 при л-"-#".
Поскольку мы полагаем, что матрицы В и L вещественные, можно
71
считать вещественными также 1Л и р> .В случае, когда связанное состояние
движется вправе, р> О ( 0), а в случае движения влево р 0 ( 2j
* 0).
Возвращаясь к (3.2,3), заметим, что волновая функция ч>(г) опи-оывает
рассеяние или связанное оортояние в поле с "потенциалом'1 а?,.-!/2 и 1?Л,
определяемым движением цепочки о ап?з/2 или 4 0 . Термин "рассеяние"
употребляетоя в общем смысле. В оа-мом деле, (3.2.3) - это
дифференциальное уравнение второго порядками, следовательно, в
континуальном приближении оно сводитоя к уравнению Шредингера вида [-
%z(d1/dx2)+ic] = Я у% где
потенциал определяется через л^-4/2 и 4^ . Если задан потенциал и надо
определить связанные состояния и рассеяние (асимптотичеокое поведение V*
), то мы имеем прямую задачу рас-оеяния. В противоположность этому, если
мы ищем вид потенциала по заданному асимтотическому поведению <f . надо
пользоваться методом обратной задачи расоеяния (М03Р).
Предположим, что мы хотим получить детальную информацию о Рп и ап или об
&¦ ъ и движущегося объекта и облучаем его светом, характеризуемым длиной
волны Я . Полученное таким образом "радарное изображение" соответствует
асимптотическому виду V1, а техника предоказания движения объекта
соответствует iyiOSF. Здесь волновая функция у - не более чем
математический объект, однако мы можем рассматривать рассеяние реальных
волн, например рентгеновоких, сслитонами в нелинейной среде [3.5].
Как мы увидим ниже, оолитоны определяются связанными состояниями.
Следовательно, спектр связанных состояний ( I % I > i ) и их
аоимптотический вид более существенны дня описания распространения
нелинейных волн, чем роотояния непрерывного спектра с I т, I ^ -1 . Для
