Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
дгЬ
771
dV
[*ж(-
2- Г,-л
2 дть. /J
о.
(2. Г. 2)
Его можно переписать, пренебрегая производными высших порядков и высшими
степенями t :
(15
ТП д п о 1 & S д Гтп д 0 р 4 д 4
-¦-¦+т ^уУин'J*'ГW(tm)
(U dt
2. дп 2
(2. 7. Ъ)
50
Следовательно, дня волны, раопроотраняпцайоя направо, имеем
(/
или, формально раокладывая эЛ- в ряд до членов третьего по-
>1
ТТТ_ дг дг ± д31 4 дх
аЛ дЬ дп 24 дпь (llS)
Вводя новые переменные о помощью соотношений и,~4г/2, Z = \{а4/ m t,
? -тг-sfaJ/'yri't, <f2 - d/24t
(2. /. 6)
получаем уравнение КдВ
itL.u.Jlj.j-*-*!*- =0. Uirt
dV д$ д\ъ
Для уравнения КдВ относительно функции и* - (J, t)
расоиотрии связанное с ним уравнение на ооботвенные значения
, (¦?) (t)
ki ------------------("¦''•О* =°>
где f ^ - i-я собственная функция, принадлежащая собственному
значению 21 . Это уравнение имеет ту же самую форму, что и уравнение
Шредингера в квантовой механике (12сГг соответствует fi, z ). Было
обнаружено, что, несмотря на временную эволюцию и = опиоываемую
уравнением КдВ, собственные значения Я i не зависят от времени. То еоть
- п (2.1.3)
dt
Как будет показано в следующей главе, подобное утверждение верно также и
для цепочки.
51
Уравнение (2.7.7) допускает солитонное решение вида Ц.=1Сеху-ПосАЛ'1(},-
сг)у (2.].iocl)
где и- ив- постоянные (Л^О), и
Я i гт
C = -U^t у ) (2.1Ш)
л а I Н)
А = J '
Используя континуальное приближение, можно обоудить вопроо о времени
возврата ФПУ [2.3] . В численных экспериментах ФПУ начальные условия были
таковы, что при С = 0 цепочка покоилась, а начальными смещениями были у л
= б кп (п Я/*') [в данном разделе Л'+ 'I в (1.1.9) записано как X,
поокольку предполагается, что Х*>1.] По аналогии со случаем линейной
волны кажется весьма правдоподобным предположение, что волна расцепляется
на две волны половинной амплитуды, распространяющиеся в обоих-
направлениях вдоль циклической цепочки длины 2Н. Поскольку для гладкой
волны можно использовать аппроксимацию X = п /дтг, каждая волна подчинена
начальному условию
и(Г=0) = --^Ю -JT- (2.7.11)
Когда (2.7.12) раокладавается вблизи минимума,
, 1 4Втг / чт )гтг
U,(T=0)=COn,il+j-j]f-(-pr)$ ? (2.7.И)
что дает гармонический потенциал вида (coZ/Z) j .для уравнения на
собственные значения (2.7.8). Если при этом начальном уоловии возникают
неоколько оолитонов, каждый из них должен иметь собственное значение
(l+i) (1 = 0,1,г,-), (г.,.п)
52
соответствующее каждому уровню (l>-i/2-)Ku квантового гармонического
осциллятора. Поэтому из (2.7.106) скорость больших оолитонов имеет общую
разность
he =}Jl2<ri~Sr , tl-r.fS)
и после временного интервала
2Х 6 /Г Гу/2 VR = ТТ_ ~ФГГ VJT U ис}
первоначальная конфигурация будет повторяться (повторение будет неполным,
так как малые оолитоны до некоторой степени находятся не в фазе). Во
временном маоштабе цепочки время возврата будет
где t l =2ьг/Jcd/m' - так называемый линейный период. В терминах
нелинейного параметра I л. I = 8/2
3 , 0,5 Х3^
t = rs п - ^--------------------------^----Т ' (г. I 18)
иК Я-5/2 n/I jib l /Ы8
Это немного больше, чем эмпирическое значение (1.1.10), поскольку из-за
сжатия цепочки солитонн проходят один сквозь другой с большей скоростью.
Задача 2.14. Покажите, что уравнение ВДВ (2.7.7) имеет периоди-чеокое
решение (кноидальную волну)
"- = и, " - Я СП,1 /
где ( к - модуль)
Найдите это решение из кноидальной волны цепочки (2.3.1) посредством
перехода к континуальному приближению.
Й
Тг
53
Яяпяча 2.15. Покажите, что функция
j = осЛ (х~ ?) удовлетворяет уравнению
71 /1 + (п +i)(n+2)f / ix * fXXJC =0,
где индексы обозначают производные (например, fx = д V/Лс *).
2.8. ПРИМЕНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ
Можно легко показать, что линейная цепочка эквивалентна линии передачи
(рис. 2.9), составленной из индуктивноотей L и емкоотей С. Подобным же
образом одномерная нелинейная цепочка
? Л*-/
о-ПЯЯГч ^yWYWV---Whr°
Вход C=j= y"|=|=ywjj= |=|= |у Выход
Рис. 2.9. LС-линия.
эквивалентна линии передачи о нелинейными L или С. Продемонстрируем это.
Цуоть 1п обозначает ток, 0.^ - заряд конденсатора, фп - поток индукции.
Запишем уравнения для линии передачи в виде
JhL-j -1 , -п =у -у • (2.8.1)
1-n-i п ctt п
Предположим, что индуктивнооти линейны и обладают постоянной
индуктивностью L :
*"-""• ш-л
С другой отороны, пусть конденсатор нелинеен и пусть зависимость заряда
от напряжения дается выражением
0.П.-С trv (l+V*, /^о ), (2.8.3)
54
где С ж if0 - постоянные. Тогда (2.8.1) дает
У
и поэтому
По ферме это совпадает с уравнениями движения (2.2.12) для цепочки с
экспоненциальным взаимодейотвием [2.7] .
Хотя реальные конденсаторы могут иметь нелинейность, отличную от (2.8.3),
если приложить подходящее смещающее напряжение и ограничиться малыми
изменениями нацряжения, можно использовать
(2.8.3) как приближение. С помощью таких линий Хирота и Сузуки
f2.7]смогли воспроизвести явления возврата и столкновение между
солитонами.
Уравнения (2.8.1) представляют собой обобщение уравнений нелинейной
