Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тода М. -> "Теория нелинейных решеток" -> 16

Теория нелинейных решеток - Тода М.

Тода М. Теория нелинейных решеток — Высшая школа, 1984. — 262 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaneleneynihreshetok1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 52 >> Следующая

закрепленных концах.
Задача 2.18.Убедитесь, что интегралы (2.10.19, 6) для периодической
цепочки совпадают.
л
Задача 2.19. Умножая Pn (J. = 0,1,2,...) на второе из уравнений
можно записать в виде
63
движения (2.10.4) для цепочки и суммируя, получите уравнения
для периодической цепочки или цепочка, покоящейся на бесконечности.
Замечание: для интеграла Хенона 1г имеется соотношение 1Х -j j - 2 Jz и
т.д. Подобным же образом, переписывая ct/=>?. /</?, ci-p^n, /Jb,...,
можно найти сохраняющиеся величины высшего порядка j , Js , ... . Правда,
расчет очень громоздкий.
Глава 3 СПЕКТР И ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ
В предыдущей главе мы убедились, что цепочка с экспоненциальным
взаимодействием доцуокает много чаотных решений, а циклическая цепочка
имеет столько сохраняющихся величин, сколько частиц в цепочке. Таким
образом, мы имеем основные понятия о распространении нелинейных волн в
цепочках. В данной главе мы запишем уравнения движения цепочки в
матричной форде, получим из них сохраняющиеся величины и покажем, что
задача Коши является решаемой для бесконечной цепочки. Далее мы
рассмотрим уравнения движения вида db/dt - BL-LB с обобщенной матрицей В
и связь между системой Каца-Мёрбеке и цепочкой с экспоненциальным
взаимодействием. Покажем, что можно отроить новые решения из известных
(преобразование Бзклунда), используя производящую функцию канонического
преобразования. Далее обсудим методы интегрирования цепочек с
экспоненциальным взаимодействием конечного числа частиц, включая метод
Мозера. Наконец, изучим переход к континуальным системам и получим
уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ), списывающее нелинейную сплошную
среду.
3.1. МАТРИЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ
Аналитическое рассмотрение цепочки, которое начал Флашка?з.^, было
стимулировано чиоленными результатами Форда, показавшего интегрируемость
цепочки с экспоненциальным взаимодействием. В то время было извеотно, что
собственные значения уравнения Шредин-гера, оопоставляемого с уравнением
КдВ, не зависят от времени (см. разд. 2.7), и был предложен способ
решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния. Соответствующая
теория была строго ^формулирована Лэксом [3.2] . С другой отороны,Кац и
Кейз
[3.3] установили метод дискретизации .уравнения Шредингера. Перечисленные
результаты позволяют подойти к аналитическому иссле-
65
дсванию цепочки с экспоненциальным взаимодействием. Запишем уравнения
движения цепочки в виде
. -(Qn-Q-n-i) -в п.)
[рп=е
(3. J.i)
и перепиием их далее как
i - (& ~ @
_ 2 е
(3.3.2)
Нумерация п. и знаки и 4" здесь несколько отличаются от тех, что были
использованы в оригинальной работе Флашки, а также в работах Каца и др. В
этой книге мы используем простые обозначения, которые позволяют
осуществить гладкий переход к континуальному приближению - уравнению КДВ
для волн, распространяющихся в правую сторону. Из (3.1.1) видно, что
уравнения движения для а.^ и можно записать как
а гь ~ ^ п. л n + i ),
4 п -2. (о-- а. п ) .
С3. J. 3)
Отметим, что эти уравнения не изменяются при изменении знака . Рассмотрим
периодическую цепочку м частиц, такую, что
п - CL
П+Af П 7
Тогда мы можем ввести матрицы L и й (размерности У* У):
X л,
ал 4j, о
л
'¦в.
а
п-п
CL
а-.
а.
¦п.
¦пи
л,
¦ V/S-l
Q- /S- л.
O'*--!
? JV
(3. J. S)
66
6=
О -а±
а.
м
я.
О

П-1
71-1
О -а.
а
п
-я-
ж
п-
'•о
От
М-1
dr
о
м-1
(3.1Л)
чтобы записать уравнение (3.1.3) в матричной ферме [3.IJ ~=BL-L8.
(J.1.7)
Запись эволюционного уравнения в форме (3.1.7) оостветотву-
ет методу Лэкса. Здесь существенно, что матрица В антисимметрична. В
силу антиоимметрии В матрица V , определяемая уравнением
при V(0) = 4t (3.1.8)
унитарна. Псзтсму
л vv* "ir'iw.
Следовательно,
Tr(V'LV)-l>,
так что У L V от времени не зависит, а
l(t) = V(i)h (O)V(t)*.
Таким образам, L(t) и Шунитарно эквивалентны. Пуоть я(6) и Y(t) (матрицы
К у. I) обозначают собственные числа и ооботвенные функции L (i). Тогда
при ? = О
L(D)r(o)= Я (0)4(0), (3.1.12)
(3.1. з) (3.1.10)
(3. J. п) (3.1.1 г)
67
и, используя (3.1.12), получаем
L (t)VCt)'f(o) = Л(о)ит 4(0). (3.1. i<f)
Сравним последнее о уравнением
L (ь)чШ = ь(Ь)ч(1), (з.1. if)
можно убедиться, что
\f(t) =1/ (t)4 (0) (3.1.16)
или
- = 6y, (J.1.J7)
dt
a
A(t) = X(0) = *. (3.1.1?)
Следовательно, соботвеннне значения не зависят от времени.
Кроме того, поскольку все элементы матрицы L вещественны, собственные
значения Я тоже вещественны.
Таким образом, движения цепочки сохраняют спектр Я (изо-спектральные
деформации). В силу уравнения (3.1.15) собственные значения определяются
уравнением для определителя:
det (aJ~L) = 0. (3.1.1?)
Так как размерность матрицы с имеем И собственных значений
Ял7 , •• •, Я ^ . Разлагая (3.1.19), получаем систему из /Г уравнений:
d + С* *72 + '"+С*--* + 0
(3.1. 20)
где с j - функция от и 4п. Если мы разрешим эти уравнения относительно с
. , тс получим
68
Поскольку величины Aj сохраняются, с j также сохраняются. Нетрудно
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed