Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
&- <Z nil п
С3. 31 с)
но при clм =. l/l, а из (3.3.13а) следует,что
У(м)-*г~*'2*'*1-Ж~(*'*Л)2*'=- Z-Z~* (/г-ь^ео). fs.i.if)
77
Значит,
V fa) =
так что (п) не зависит от п. .
Далее, подставляя (3.3.18) в (3.3.12), получаем
d(*) = [ф(п,г)ф(п+/2)-ф(-п+1> z)/>(n,z)] а_}_ц
По смыслу U.(l) правая часть (3.3.19) не должна зависеть от ть (см. разд.
3.7).
Обозначим через Zj ( j = 1,2,...) нули Jl(z) в комплексной плоскости
переменной % •
JL ( Z j ) - 0. (3.3./о)
Тогда из (3.3.3) следует, что
) = /3 (Zj )ф('П',Ъ^ ). (3.1.21)
'f('n.Z)-> при а ф (п,%)-> г 7г-
при ?г-"+" для нулей гг j , которые удовлетворяют условию
(3.3.22)
ПОЭТОМУ
^(niZj)~<f>(niZj)-^0 (¦n->t'*=>)- (3.3.21)
Таким образом, волновую функцию связанного состояния с нормировочной
постоянной /4 можно представить как
Zj ('n>'2j)=/<)t'(n,Zj)=/'/3('Zj),jtl(7t,Zj). (3.3.29)
При Z = Z ¦ величина l/u (Z) обращается в бесконечность. Найдем вычет ^
llh
е1л(%)/с!г
г=гу
(3. 3. 2S)
78
Чтобы определить знаменатель в (3.3.25) при помощи (3.3.19), найдем
сначала
+'(пл)ш а,.*
Дифференцируя уравнение
'b(n-i}i)+ci.Tbi'('n+i, гг Ф (n.i),
получаем для
Лп-л г) + а,7ьф'(ъИ,2) + 4ГЬ'Ь' ('n>2') = Ч'(n,'^)-^
+ ~^~ (3-i.JT-)
Если это соотношение объединить с уравнением а^ФСть-
з^+апФ'(n+i,i)f4пФ(п., ?; = Аф(п,?)>
то ДЛЯ ф (п} Z) получим
- фЫ,г)Ф(к, г;-ап_й [+'(п-л, г)ф(п,?;-/'(п, г)Ф(п-й, z)]-dz
~ <г'п[ф/('п,*)ф(п^,*)-ф/(''П+1, *)ф&,*)].
(3. J. J8)
Просуммируем (3.3.28) по всем п при 2=2;. Тогда с учетом (3.3.2, 22)
получим *
dii
= - а п />'(к, Zj) ф (п + *, *j) - ф 'Фп +л> *j) Ф (п>2j )]¦ (3-3'23>
Отметим здесь, что, хотя производная 'f'('n,lt})=d4'('n,Z)/dtllL_tj при
обращается в нуль, она может не обращаться в нуль при
"Н- -> + ".
Таким образом, используя ф'fit, Z), найдем, что
79
d'Z (г;) -- . . ,
----------- ZZ Ф(п )Ф('п, Z;) =
dzj Л'~я"
= а"[ф '(п, zj)?(п+1, '(n+i, Zj)+(n, zj )]ш {3,3. i0)
В данном же случае, хотя производная ф'(п, lj ) = d<t>(n, г и обращается
в нуль при п-*+">" она может не обращатьоя в нуль при •л- -> - "*= •
Сложим (3.3.29) и (3.3.30) и воспользуемся выражением (3.3.19); тогда
d ij Я - - "*"
-Ф(п+й, i)4(n>z)] =
d Г 7-7-1
Uz)l
* = ' А
*Л - zj"j da (г) f
(3.3. за)
где
d^(Zi ) _ Zj - Zj ^ (3.3.12)
d2J ^j
так как л = (Z + 1~л)/2.
Таким образом, с помощью (3.3.24) найдем da (г)
dl
Z t (n,zj-)Ф(n,z¦ )¦
г-z,
J n=r-CK> 1
nt
ZZ CKfatZj)] ' C3.3.33)
80
Пронормируем (3.3.24) посредством соотношения
? [Xjfn.ij)]1 г
71-- "="
и представим асимптотический вид как
% j (я, 2 j ) -> С J 1J (п------------> т^ ае>) , (3. 3. 3S)
Тогда из (3.3.24) найдем выражение для нормировочного коэффициента
Cj (3.3.36)
В итоге получим выражение di (г)
dl
*Jcj
-у- , (3. 3- 3?)
которое не обращается в нуль. Следовательно, 2-2- - это проотой корень с
вычетом
Л(г)
?=?¦ >
Q
2 • CZ.
J 0 (3.5.38)
3.4. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬФАНДА-ЛЕВИТАНА
Умножим уравнение (3.3.37) для функции рассеяния на 2(tm) J (т г п) и
проинтегрируем по окружности вокруг начала координат в ксмплеконсй
плоскости г . Тогда получим
(39.1)
Перепишем обе части уравнения (3.4.1) так, чтобы получить уравнение для
К(к,п0 из (3.2.19).
Прежде чем пресбразсвать выражение в правей части (3.4.1), напомним, что
для' I гЫз
81
K(-n,n')zn. (3.9.2)
Затем с помощью теоремы Коши о вычетах подучим
- кф(п, i'*)z (tm)~лс1г = ~ ? X (п,п')§ гп
2fii 7 7 ЯП WstL J
= К (гУ1,'>-п) (тп^п). (3.9.3)
Заметив, что
- ^Я(г)Ф(^,ч)2т'л^г^~ П К(-п,п')^К(г)1г,+7Г' Хс(г7
2l)l > 7)'-Н.
подучим, что правая часть (3.4.1) равна
K(n7m)i-Z, K(n,n')Fc (n'+m), (М-'t)
п'= п.
где Рс представляет собой вклад от непрерывного спектра ? и определяется
как
р (т) = -^- <?/? (Tt) (3-9. S')
с 2nl J
С другой стороны, интеграл вдоль единичной окружности 'вокруг на-
чала координат в левой части (3.4.1) есть
JLL +1 , (3.9.6)
2uL Т 3(Z) Л о '
где lj_ - вклад от полюсов Zj ( ti t 0), a 10 - вклад от полюса % = О,
Так как вычет в г.- определяется формулой (3.3.38), то с учетом (3.3.26)
- Ecf ? K(n,n')lf'*m <¦>¦> <>
I <J
J J n'=n.
Что касается полюса f-(n, z , то вспомним, что
82
л ( x )
Функция S (%, x )%.n 1 может иметь полюс при 2 = 0 из-за наличия первого
одагаеиого в правой чаоти (3.4.В) (ом. задачу 3.1). Чтобы непооредственно
проверить это предположение, оценим' .S (я-, г) при 2г 0, используя
уравнение ^
и ^ S(п,г).
п'л а. ч. 9)
Правая часть содержит множитель К.'1. Следовательно, при О
Таким образом^для 2 хО
а,л? (п+*,(-п,г) (*~0). (3.9.Ю)
$(ъ,г)я2жа,п&(п+*>*)*"'ж(2г) '' ' ап+м-1 &(п+к г)-
(3.9.11)
Всспользовавшсь {3.2.^L) ,0-r=K(*t*l,nti)/2J€ (п, п) и вспомнив (3.3.9),
для Jf"l получим
SCK г)~ (z~0, (3.9.11)
Воспользовавшись далее асимптотическим видом ф (п, z) , имеем ]? ("=> у
"о } - 3. , (Ъ* 9. iЪ)
Эти результаты приводят нас к
К (п,п)
Следовательно, когда -л+">-1 = -1, т.е. когда it = т, полюс % = 0 дает
вклад 16 в (ЗЛ.6). Так как т г п- , то члены z'v с v-=7t не дают вклада в
? {п,,и). Таким образом,
1. - (тп^-п) (3.9. if)
