Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тода М. -> "Теория нелинейных решеток" -> 15

Теория нелинейных решеток - Тода М.

Тода М. Теория нелинейных решеток — Высшая школа, 1984. — 262 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaneleneynihreshetok1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 52 >> Следующая

сначала с работой Хенона н с некоторыми смежными вопросами [2.I1J.
Уравнения движения для цепочки с экспоненциальным взаимодействием могут
быть записаны в виде
(•?. ю. 1)
гп=С(е -е '•
Вслед за Хеноном введем постоянную С, хотя в дальнейшем можно положить С
= 1. Рассмотрим периодическую цепочку, состоящую из X частиц, так что
G-w+Л- +
п.
Далее введем v -(Q-n+s Q tl)
L = Ce ,
(2.30.2) (2.30. 3)
59
чтобы записать уравнения движения в виде
Xn=(?"-P"jxn ,
(2.Ю. If)
Хенон показал, что сущеотвует X сохраняющихся величин (интегралов)
где ? обозначает суммирование членов, удовлетворяющих следующий условиям:
1) Индексы is, 1г , ... , I u , + I, ... , Jg , je + 1
все разные (по модулю #), где j появляются или явно или неявно через Xj .
2) Число этих индексов есть w, т.е. -т = к + 2^. Два члена, отличающиесн
только порядком сомножителей, не считаются различными, и поэтому только
один из них появляется в сумме. Например, для X = 3 интегралы таковы:
Чтобы показать, что Т^ - сохраняющиеся величины, удобно воспользоваться
символикой
(г 10. S)
(г 10. (,)
(2.10. 1)
и записать (2.10.4) в виде
60
c]+[i, L+1].
(2.10. gj)
Следовательно, Im является суммой ¦членов, подобных (2.10.5), иоключая
такие, где один индекс монет в конце концов появитьоя дваады. Ниже
раосмотрены все возможные члены в 7" , которые мож-
ГГ?
но получить из исходного члена в (2.10.5).
а) Член в 1т, который не имеет повторяющихся индексов. Он может
получитьоя только от дифференцирования сомножителя [L] в (2.10.5), что
дает -ft-1,3 + [ i-, i + '17 или индексы L - 1 и
l + l (2.10.86). Возьмем, например, индекс t+1 (то же самое будет и для I
- 1). Чтобы i. + 1 не появлялся дважды в этом члене, первоначальный член
не должен содержать L + 1. Не тогда среди членов в 1т имеется другой
член, где СИ заменено на С L + 1 3 , а остальные неизменны, и при
дифференцировании он дает член, содержащий ~[L, l+i] и уничтожающий
предыдущий. Таким обрезам, вое члены такого типа при дифференцировании
исчезают.
б) Член в j-^j, содержащий двойной индекс, общий .для множителей [?] ш
[С, L + l] . Он может получаться из двух первоначальных членов. (1 )[i,
l+l] в первоначальном члене дает [i][L, C*l] в соответствии о (2.10.8а).
(2) Присутствует также первоначальный член oftj [С+1],я он дает -[L1 С
1,^+11 после дифференцирования CC*iJ в соответствии с (2.10.86). Таким
образом, вклады от (I) и (2) сокращаются.
в) Случай двойного индекса i, общего в сомножителях [и Ш,рассматривается
аналогично.
г) Член в Ту,,, который имеет двойной индекс L, общий в сомножителях [l-
i, L ] и [с, i^]. Он получается из первоначального члена, оодержащего/7-
iJfi,L][i+i], и онова продифференцированные члены сокращаютоя.
Таким образом,
I гп = ? или 2 тп - . (2.10, 3)
Что все взаимно независимы, яоно, когда рассматривается случай С ~ 0.
Тогда 1т сводятся к симметричной функции 1т=Цр€ Pt-..Рim и X оимметричных
функций г,...,лг) независимы/ г
есть просто полный импульс. Jz по существу есть интеграл энергии, потому
что он овязан с полной энергией Н соотношением
z 2 х
(2.Ю.10)
61
Другие интегралы не имеют простой механической интер-
претации.
Приведенные выше сохраняющиеся величины Хенона такие применимы к цепочке
с закрепленными границами, которая численно изучалась Саито и др. [2.5].
Это было независимо отмечено Фордом и Тодой. Чтобы это показать,
рассмотрим периодическую цепочку, соотоящую из 2/с + 2 частиц. Наложим
антиоимметричные начальные условия, нумеруя частицы от -Я до Я+ 1:
Тогда ясно, что это условие выполняется все время, и оно в свою очередь
подразумевает закрепленность концов fl 0=Q-^i = 0 • В этом случае 1т при
нечетных гг исчезают из-за симметрии, и можно показать, что Iсв°Дится к
поотоянной. Поэтому имеетоя Я независимых интегралов /2, /^,... ,/2^ •
Любые функции /5, /2,... также остаются поотоянными. Отсюда
неединственность выбора незавиоимых сохраняющихся величин.
Общепринятый путь получения сохраняющихся величин должен начинаться с
общего уравнения движения для динамичеокой величи-
где окобки в правой части означают скобки Пуасссна и Н есть гамильтониан
(2.I0.I) (С = 1) периодичеокой цепочки о экспоненциальным
взаимодействием, т.е.
Q-.n &rv , ¦
ны Й [2.12] cM/dt = Н]г
C2.lc.ll)
(2.Ю.11)
Можно запиоать
(2.Ю.19)
где
(2. ю. if)
62
Определяя
Я =? е
~('Q-n*j'Qrv) ^
'этпдрп^
>
(7. 4о. к)
можно показать после некоторых вычислений, что [2.12]
ХеР П PL=0.
i=i

(l.io.u)
Поэтому ер П Р - - интеграл движения. Далее можно показать, что
: _ 4 L
Появившаяся здесь функция есть не что иное, как интеграл Хенона. В'самом
деле, при проверке видно, что интеграл Хенона (С = 1)
Сохраняющиеся величины находятся в инволюции с гамильтонианом ] =
0) и друг с другом ([1П,!",]= 0). Кроме того,
движения, получающиеся при выборе сохраняющихся величин Jm в ка-чеотве
новых гамильтонианов, взаимно не противоречивы.
Задача 2.17 "'Исследуйте интегралы типа Хенона для цепочки сЖ= 3 при
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed