Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
(3. 6. 3)
(3.6. 9)
= 0.
(3. (. У)
(з. 6. 6)
(3. 6. 7)
'з. 6. 8)
/
(3. 6. 3)
88
\[K(n,n)]l-^i (¦п-л + 00))
) ,г .2 * (3-6.10)
([K(n,?i)j -> zx (п.->-<*=>).
Уравнения (3.2.23, 3.6.2, 8) дают
К (п, п.) 1Z ^ =
К ('П-й)П-л)\
(е^-е >r)Z__________________________
Y~~
= pz -3I2 (rn -fit-<T0)} (3,t.jj)
-(a.
iT&n-d.)_ |
что является солитонным решением (2.4.5). Солитон движется вправо, если(h
^0), и влево, если р<-о (г±^0).
/У-солитонное решение имеет место, когда R(l)~ 0 и имеется спектр из Ж"
связанных состояний t- (j=-d 2, tf).
В этом случае ядро уравнения ГЛ имеет вид J '
м
F(m) = Ц, cll" (3-6.12)
Jsl J J
а само уравнение ГЛ сводится к
ео ^' /
. <- 2 п+-т г- • , ,\ vr 2 v 22 '1-7г' .. /¦
>
3?(7t,n>)tYL с 2; + 2Z x(n,n./Z^ С I. =0 (тп^п,)'
j-l * * п'-± 3=1 J J
а
(3. С. 13)
Решение этого уравнения можно получить, положив
(п) п>
зе(п, ?п) - 2_i с ft . (3 (19)
j ad J f
что после подстановки в уравнение ГЛ дает
89
саэ /V" ^ /
V" тг7/л^) я- ). у7 Т гг уЪЧ-т (п} /
13с 2 М. #¦ с г ) *-* *-> i j с #; Z- =
J J J 1 J 4 i ъ'=па i-t J't J J < t z<
= Z3 c,z"'lfi. +с/г j
"\я~+с .лгс/
J J j J J i-i
c g'
Л *
Таким образом,
л I (l-;Z))nH 1 (n) n
j t I*/1;/ i l * " / i
sk/v.^v-K -v. 0=^
^ [V *-*<
(3 C 1C)
(¦n!
решив систему уравнений для Я } получим t fi/ei
где б('п)- симметричная матрица, элементы которой имеют вид
Г 7 г-
[6(">lrs4"^ ~^ТГ' (>¦'">
</
Ci>
а В(п) представляет собой матрицу, получающуюся заменой
iП.¦ 1 г
. .г, , ... , г 'огда (3.4.22) принимает вид
t-го столбца в /W?) на ~(с
-2 2 2rt у- у- Z 1Щ п (Zilj)(tm)
[кы,к)] =i+ILcjz. +Е Есс^ яс ^ ^
(з С 13)
С другой стороны, если мы умножим уравнение (3.6.16) на с ¦? и
просуммируем по всем j , то получим ^
mI ft .- 2 2-п. 'с-? V" ^ 1П^ - 'fL ' J - /'
Z.C д tZLctc *¦ z
¦¦ i J J . i J с J e 4
* (3 i ZO)
ll
ft
(t; Z )H+i
90
Следовательно, (3.6.19) упрощается:
У
[К('*,*')] cj*j Zj .
J
Преобразуем правую часть этого уравнения. Во-первых, заметим, что
j- (*t г,У
i- Z; 2,
(3 ?.22)
а также
Тогда
Jet & (n~j) = ^
я. "-
Z -Cl..
L J J
(3 ? 23)
¦71- П
+ С . z ¦ ¦ С Z
? ^ У У
S21 f cz г ^ • cj Zj Л, г 4~сг1 л ' cz l x • • '
й
Сл1* S JZ S n ¦
Cz Z 2 ^ ' • ¦
3
п* а
с, г . -з
il я
91
- del ВЫ-Ис-г* Jet BMU)
j J J
/ r-> 'Ms (H) \
= det p cJ г. /fj J,
и поэтому
7.г del S(rt-i)
[Х('К,гь)] =-7-7-------------------;------------------
det В(->ъ)
Следовательно, с помощью (3.2.23) можно полупить
-(Qn-Qn-i) _ f KC-n/rt) I e ~ l К(п-л, n-±)\
det BMdet B(n-z)
z
lZ
[det Bfzi-I)]'
Вопоынив (i.4.18), i.e. взяв
имеем
5 = Zn- det B(^) + Член, линейный по "
ft-
Далее, используя (1.4.7), получаем
(3. (¦ 2 Г)
(3. 6.24)
(3. 3. 2Af)
(3. 6.23)
92
^ 'J p de? &(•*¦-!)
p = ContfJ + -JT- Jn - ¦-•--- • (3. ?. <>9)
п dt Jet В (tv)
Здесь, в элементах матрицы &(п) из (3.6.18), зависимость от времени
коэффициентов дается соотношениями
й: t
с- - С • (о)е. J ,
J J (3. 6. JO)
'Pj = * ** rj
и
_ e~fj . (J-Si)
J
Заметим, что аналогичные вычисления определителей в случае уравнения
Щредингера были выполнены в работе Кея и Мозеоа [3.5а] .
Задача 3.1. Покадите, что при наличии солитона выполняется равен-
0ТБ0 *** 7
-~±--.у,
так что ( 1 = е 1 7 11 вещественно, | гI ¦< й)
f(n,Z~J)-------> е (щ.->+<*=),
где
* *-аг,г
г и(г) г,-г
а для I zl ? 1
Г П. ТГ- п O'nJ 777 771 7
ф(ъ,ъ)=К(п,п)[* +JL слв z, г у=
93
где /"ср. (3.6.6)j
]{ (п, т)=К (rv) к (-п, -гг?) =
i /7 (*п) т
= K(n,?v)Cjfl .
Далее, используя (3.6.'9, 7), убедитесь, что
г п ^'rL> ^ 'п-
[К (П, ?г)] = -1-Сл й ti_
и что для t->0 [ср. (3.4.14)]
- эт / (К) "¦ \
^>(^,гл)~К(^,гь)г (1-с±Я хл) =
d -7г.
г
К (п,ть)
Задача 3.2. Покажите, что при наличии солитона собственная функция
связанного состояния имеет вид
t(nd2:L)^ci ф(ъ,
где 2
, , 'П' Г " ^ 1
ф(ъ} ?л)-К (п*, d jd+c^ -jj-J >
так что j ^
(0)е~ 0 J
(г. = ^~п
{Сл(о)%~ +
tfals)-
ct(0)e'2^od]n (w,-*-*>).
94
Замечание 1. Сравните (3.2.12-14) со случаем, описанным выше. Замечание
2. Если Zd^0 (солитон движется вправо), то t)frt,z) асимптотически
монотонно затухает, в то время как,если (солитон движется влево), данная
функция, затухая, осциллирует. Эта асимметрия несущественна и может быть
устранена посредством использования комплексной эрмитовой матрицы L [3,6]
.
Задача 3.3. При наличии солитона из (3.6.18) следует
В(-п) = itc^ '
Сравнивая (3.6.28) и (2.4.4), показать, что
где Я- константа.
3.7. СООТНОШЕНИЕ МЗДУ СОХРАНЯЩИМИСЯ ВЕЛИЧИНАМИ И КОЭФФИЦИЕНТОМ
ПРОХОЖДЕНИЯ
Сохраняющиеся величины, разумеется, связаны не только с коэффициентом
прохождения, но и с другими величинами. Детальное обсуждение этих
соотношений было бы весьма громоздким, поэтому мы остановимся только на
связи с коэффициентом прохождения &(*)]'1 [3.4] .
Сначала перепишем (3.2.1) для фп = ф{п) и
(3 Ц)
{& ¦п- 1 'f'n -л * ^71 Ф"п Ч * ^П- 'f'rv TV "
(3 ? i)
Если первое из этих уравнений умножить на -f'n. , а второе -на и сложить
их, то получится
95
W ~ O' ~n-i (Фп-л Ф-П- ~i'-rv Фп-Л. ) ~
