Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
0 К (ПуП)
и для левой части (3.4.1) получим выражение
L-S (*t,ir>)-7Z К (*,*')!% C*Um)
к (п,п) *'*" (3'У'".
83
где F^ определяет вклад связанных состояний
V'*7 <d W
F4(m) = l^ с . Н^. (з, 9.J7)
J
Следовательно, (3.4.1) принимает вид
- (Г(п,тп)=Х (n,m)+ZL ХЫ.п'Жп'***) /"гя|
К(п,п) п'=п. (3.9.1*)
где
L 2 771
f'(?")= - &F(z)?(tm)~:tdzt'L>cj ж. ¦ 0-9.19)
2Ш! J
Это уравнение представляет собой дискретное уравнение Гельфенда -Левитана
(ГЛ) (его иногда называют уравнением Гельфанда-Левитана-Марченко). В
принципе, если мы решим (3.4.19) с заданным ядром Р{-т) и определим
K{iv,-m), то движение цепочки определится из соотноиений (3.2.19) или
(3.2.20). Хотя уравнение (3.4.19) нелинейно относительно Х( я-, т) из-за
левой части, его можно легко линеаризовать оледующим опоеобои.
Для недиагоиальных эламентов К (п, ггт)
х(тг,тп) = К (я, (тпж). (3.9.2а)
К (71, 7ь)
Тогда для недиагональных элементов уравнение ГЛ (3.4.18) принимает вид
АО
зе(ть,7n)+F(m-7n)+'ZZ, х (n,rt') F (т^'ч тп) =0- (3.9.21)
*>'= тн-л
Это уравнение линейно относительно х(тг,тг>) и в принципе может быть
решено. Когда мы таким образом найдем ж (-п.,-т) , то диагональные
элементы К (п, -п) получим из (3.4.18) для п-тпг
ся&
~i+F(2 Tb)t П X (-71,71') F (П 'ч 7Г>) .
[X(7t,7b)]Z 7i'=.n+i
84
3.5. ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ¦ УСЛОВИЯМИ [3.3]
Мы убедились, что цепочка с экспоненциальным взаимодействием описывается
уравнениями (3.2.3, 4) и что (3.2.3) сводится к линейным уравнениям
(3.4.21, 22). Если определить из (3.2.4) зависимость от времени ядра
Р(тп) дискретного интегрального уравнения (3.4.21), то можно реиить
начальную задачу. В предыдущем разделе мы записывали асимптотику функции
раосеяния (3.3.9), опуская временной множитель в (3.2.18). Теперь мы
восстановим множитель щэ(- iu.i b)t записывая падающую волну, т.е. первый
член ?'я' в (3.3.9), а также включим временную зависимость в коэффициент
R(t7 6 ) . Тогда асимптотика (3.3.9) примет вид
где в соответствии с (3.2.10)
у _
-i (J =
Поскольку ?(n,z,t)~ волновая функция, ее временная зависимость
определяется из (3.2.4) как
' (3-S.5)
С другой стороны, ее асимптотический вид при т%-> * <х> оп-ределяетоя
уравнением
Js(nA> f (*""- г-'УкмЫ- * П]*-1".
аЬ ' ,
(з. у *)
Оно должно совпадать с результатом непосредственного дифференцирования по
времени:
t)zne 1 - с и[z v*R(t,t)ln]e
ab
+ (3,f. у)
85
Таким обрезом,
_,-d
= (f±-*)R(ztb). (з.г.4)
Следовательно, зависимость от времени коэффициента отражения оп-
ределяетоя как
ц(^Л) , 1 (%~л-г)Ъ
R(t,l)= "1(г\ТГ = к(2'°)е ¦
Аналогичные вычиоления для f (V, t,t) дают ('П ->too)
f (-п,г7Ь) = Л p(z,t)z ]e
(3. S. 1*)
что позволяет определить
(3.S.g)
jb(%1t)=p(^o)e
Для связанного состояния имеем единственное асимптотическое слагаемое., и
вся временная зависимость может быть включена в нормировочный коэффициент
с у . Таким образом,
а
X.(n?lj,t)-+CjCt) lj. (3. s. 9)
Далее, из уравнения
± t (п, , *) = <*"-! X: (п-1, *j, t)-CLn tj ((tm)i, 2j, t)
d J (3-S.do)
мы можем дать асимптотическую оценку
г -** • C3.f.di)
СГ г j
она приводит к результату
86
c.(t) = C: (o)e J a
(3-S.12)
J
Рассматривая (3.5.7, 12), мы получим зависящее от времени адро
ния - линейное уравнение (3.2.3) с граничными условиями (3.3.9),-мы
найдем начальное значение коэффициента отражения R(t,o)и начальное
значение нормировочного коэффициента Cj (о) . Знан начальные данные
рассеяния, мы можем построить ядро (3.5.13) и решить линейное дискретное
интегральное уравнение (уравнение ГЛ) (3.4.18) для эе(п,т). Затем
получимК(п,т)и уравнения (3.2.23-25) дадут решение задачи с начальными
условиями. Таким образом задача о распространении нелинейных волн в
цепочке сведена к линейной задаче ^следовательно,в принципе может быть
решена.
3.6. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ {3.4]
Если коэффициент отражения равен нулю в начальный момент времени [R(%to)
= Ol, он остается равным нулю на всех временах ZR(l,t)-0] • В этом
разделе мы рассмотрим случай
и найдем солитонные решения, которые характеризуются Zj -нулями d (г) и
нормировочными коэффициентами cj (о) . Сначала обсудим случай одного
нуля, 1л , который запишем как
'jts~±e ^ = Вещеотвенное число. (3-6 l)
Так как мы полагали, что имеем f =- 0 . Однако существуют две
возможности: X х >0 и Z ± 0 - Нормировочный коэф-
фициент, соответствующий Z± , можно записать в соответствии с
(3.5.12) как
"тппттлтпшт PIT
(З.Г.ЛЪ)
Если заданы значения ссп(о) и 4 п, (°), тогда, речая задачу рассея-
. fit
Сл = с^ (0)е ,
(3. 6. 2)
87
где
р = -±-2-----=±4* f'
Ядро уравнения ГЛ в этом случае имеет вид Г(п')=с*1(tm), а само уравнение ГЛ
сводится к
Ц зе(п,-п')г^
п'= П+1
Вели мы имеем решение в виде
СП) 7П
&(п, т) = с± Я Zй ,
то после подстановки в (3.6.5) получим
¦п.
д (-л) _ _ сл 2*
Cl(t) f0+Pb ¦-е
ef" Сл(0)
е =
Затем, используя (3.4.22), получаем
[]((п,п.)] z-i+ с^г^+с3л.я(ЮZ* YL *
2?г, л
-я'--?ги
d+e2**^ 1 + е2*-2пГ
d+e^ г
Попутно заметим, что
2tf 1 + е2*-2(*+^Г
