Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
0 0
351
Поскольку соотношение нормированное(tm) (5.42) совпадает с аналогичным
(5.22), то и выражения (5.23)-(5.25), полученные в п. 5.4 для
динамических перемещений при заданных начальных условиях, применимы в
данном случае. Более того, динамические перемещения системы,
обусловленные действием продольных сил, можно найти, воспользовавшись
выражениями (5.28) и (5.29), также полученными в п. 5.4. Таким образом,
видим, что хотя наличие пружины и оказывает влияние на частоты и формы
продольных колебаний стержня, тем не менее суть метода нормальных форм
колебаний для определения динамического поведения системы не изменилась.
Если в системе одновременно присутствуют как сосредоточенная масса, так и
пружина (М Ф 0; k Ф 0) (см. рис. 5.5), концевые условия принимают вид
В данном случае, являющемся комбинацией двух изученных ранее, выражения
для нормальных функций можно по-прежнему брать в форме (в'). Тогда из
второго концевого условия в (з') получим
откуда следует частотное уравнение в безразмерной форме
Соотношения ортогональности определяются в данном случае выражениями
(5.31), (5.40) и (5.41), а нормированности - выражениями
(5.34) и (5.43). Начальные перемещения и скорости в нормальных
координатах представляются выражениями (5.36) и (5.37), а решения для
динамических перемещений, обусловленных заданными начальными условиями и
действием приложенных сил, задаются выражениями (5.25), (5.28) и (5.29).
Изложенный в этом параграфе подход может быть распространен и на более
сложный случай, когда массы и пружины прикрепляют к обоим концам стержня.
В этом случае, как следует из выражения (г), нормальные функции будут
содержать оба ненулевых слагаемых, поэтому частотное уравнение будет
иметь больше членов. Кроме того, соотношения ортогональности и
нормированности будут содержать члены с массами и жесткостями пружин,
прикрепленными к обоим концам стержня, но при этом начальные условия,
записанные в нормальных координатах, можно представить в виде, когда они
будут определяться только влиянием прикрепленных на концах стержня масс.
В качестве упражнения предлагаем читателю получить эти более сложные (но
и более общие) выражения, описывающие продольные колебания призматических
стержней. Аналогичный с точки зрения математической формулировки случай
вала с закрепленными на концах дисками будет обсужден в п. 5.7, а случай
предварительно растянутой нити с дополнительными пружинами,
препятствующими поперечным перемещениям, будет рассмотрен в п. 5.8.
(ц)х-й - 0, t (и )x=i - (й)х=1 - k (и)х-1.
(3')
(и')
h tg?; = ri?i/(?; - Л)-
(5.44)
352
5.6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ЗАДАННЫХ ПРОДОЛЬНЫХ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ ОПОР
Рассмотрим теперь динамические перемещения стержней при продольных
колебаниях, обусловленных не действием приложенных сил, а заданными
перемещениями опор. Например, если основание показанной на рис. 5.6
системы перемещается в направлении оси х по закону, определяемому
функцией
"оси = g (О" (а)
то дифференциальное уравнение движения малого элемента стержня можно
записать в виде
miidx - г (и - "осн)" dx = 0. (б)
Приступая к решению этого уравнения, введем обозначение
"* " "осн" ((r))
которое характеризует перемещение произвольной точки стержня
относительно перемещения основания как абсолютно жесткого тела. Кроме
того, абсолютное ускорение произвольной точки можно представить в виде
й = й* + "осн. (г)
Подставляя представления (в) и (г) в уравнение (б), получим т ("*+ "оси)
dx - г (и*)п dx = 0
или
тй* dx - г (и*)" dx = -тйосп dx = -mg (t) dx. (д)
Сравнивая это уравнение движения с уравнением (х) из п. 5.4,
видим, что эквивалентная распределенная нагрузка в относитель-
ных координатах равна - mg (t). Подобная формулировка исходной задачи
аналогична той, которая была использована в предыдущих параграфах, где
рассматривалось поведение систем с дискретными параметрами, обусловленное
заданным ускорением основания [см. уравнение (м) в п. 1.6].
Для удобства разделим уравнение (д) на отнесенную к единице длины стержня
массу т, откуда получим
й* dx - а2 (и*)" dx = -g (t) dx. (e)
Рис. 5.6
12 Тимошенко С. Г1. и др.
353
Сравнивая это уравнение с уравнением (ц) из п. 5.4, видим, что здесь
вместо функции ц (х, t) стоит функция -g (t). Тогда уравнение (5.26)
принимает вид
i
ф? + Phi = -ё (t) j Xt dx, i=l, 2, 3, . . ., oo, (5.45)
о .
где член, стоящий в правой части, представляет эквивалентную нагрузку для
соответствующей нормальной формы колебаний. Для /-й формы колебаний
интеграл Дюамеля принимает вид
i t
фг = - (1/Дг) \ Xtdx\ g (i') sin Pi (i - i')di'. (5.46)
о о
Просуммировав перемещения по всем нормальным формам колебаний в
соответствии с выражением (5.17), получим
ОО I t
и* = - ^ (Xi!Pi) j Xt dx j g (t') sin pi (i - /') dt', (5.47)
t=l о 0
что представляет динамическое перемещение произвольной точки
стержня относительно движущегося основания. Общее решение определяется
суммированием относительного (колебательного) движения и движения
