Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
основания:
" = "осн + "* = g (0 + и*. (5.48)
Таким образом, подставляя вторую производную по времени функции ыосн = g
(/)• в выражение (5.47), а саму функцию в равенство (5.48), получим закон
динамических перемещений стержня, обусловленных движениями основания как
абсолютно жесткого тела. Функцию "осн = g (t) из выражения (5.48) можно
охарактеризовать как закон движения невесомого стержня или основания как
абсолютно жесткого тела, при этом относительное движение и* обусловлено
влиянием сил инерции, распределенных по длине стержня.
Применяя подход, который до некоторой степени аналогичен
использовавшемуся при исследовании случая движения основания как
абсолютно жесткого тела, получим выражение для продольных динамических
перемещений стержня, обусловленных перемещениями обоих концов, задаваемых
независимым образом. С этой целью рассмотрим рис. 5.7 и функции вида
"ОП 1 = (0; "ОП 2 = ёъ (0. (ж)
/• иъп\ и ^ол? $
1 X < ^Х ^ *
1
Рис. 5.7
354
которые описывают независимые перемещения соответственно левого и правого
концов. Здесь предполагается, что хотя эти перемещения могут быть
большими, их разность в произвольный момент времени t мала.
При исследовании динамических продольных перемещений стержня,
обусловленных движениями опор, удобно абсолютное перемещение и
представить в виде суммы
и - ыст + и*. (з)
Здесь через ысх обозначено перемещение произвольной точки невесомого
стержня, жестко закрепленного по обоим концам при заданном законе
движений опор. Это перемещение определяется из статического анализа, и
для призматического стержня оно имеет вид
ыст = j gi (t) -|- -j- §2 (0== ^ст 1 "Ь ^ст г• (5.49)
Эта часть общего перемещения будет называться перемещением невесомого
стержня, обусловленным его податливостью. Тогда функция и* в выражении
(з) будет представлять перемещение произвольной точки стержня
относительно перемещения ыст. Таким образом, видим, что относительное
перемещение и*, как и выше, обусловлено влиянием сил инерции,
распределенных по длине стержня.
Аналогично можно записать и ускорение й произвольной точки стержня
й = ыст + й*, (и)
которое получается дифференцированием выражения (з) дважды по времени.
Уравнение движения для малого элемента стержня (см. рис. 5.7) с"
использованием выражений (з) и (и) принимает вид
т(ыст + U*)dx - г (ыст + и*)" dx = 0. (к)
Для призматического стержня величина ыст" равна нулю, поэтому уравнение
(к) можно переписать в виде
ты* dx - г (и*)" dx = -тыСТ (x, t) dx, (л)
сходным с уравнением (д), записанным для случая движения основания как
абсолютно жесткого тела. Из уравнения (л) видно, что в рассматриваемом
случае эквивалентная распределенная нагрузка в относительных координатах
равна -тыст (х, t). Разделив обе части уравнения (л) на величину,
представляющую отношение массы m стержня к его длине, получим
ы* dx - а2 (и*)" dx = - ыст (х, t)dx, (м)
откуда видно, что здесь вместо функции q (х, t) стоит функция -ыст (х,
t). Поэтому t-е уравнение движения в нормальных координатах принимает вид
i
Фi +р1ч>1 - ~ \xtii"(x, t)dx, t=l, 2, 3 oo, (5.50)
о
12*
365
где в правой части уравнения стоит эквивалентная нагрузка для i-й
нормальной формы колебаний. Используя интеграл Дюамеля для i-й формы
колебаний, получим
i t
Фг = - (1 /Pt) j Xt j йС1 (x, t') sin Pi (t - t') dt' dx\ (5.51) о о
суммированием всех форм колебаний приходим к следующему выражению для
перемещений:
оо It
и* = - (Xt/pi) j Xt j йст (х, t') sin pi (t - t') dt' dx. (5.52)
?=1 о о
Это выражение описывает перемещение произвольной точки стержня
относительно перемещения цст невесомого стержня. Для того чтобы получить
общее перемещение, сложим оба типа перемещений, что дает
и = исг + и* = р- gy (t) + ~ g2 (t) + и*. (5.53)
Подводя итоги сказанному, видим, что продольные динамические перемещения
стержня, обусловленные независимыми перемещениями концевых опор, можно
определить, сложив относительное перемещение и* (которое можно также
назвать колебательным движением) с перемещением ыст, обусловленным
податливостью невесомого стержня. Хотя перемещение "сг определяется из
статического рассмотрения, функция и зависит как от х, так и от t.
Перемещение и* характеризует отклонение суммарного динамического
перемещения и от перемещения цст стержня, масса которого не равна нулю.
Однако в уравнении (л) эквивалентная распределенная нагрузка -т"ст не
равна распределенной силе инерции -тй, выраженной в исходных координатах,
или распределенной силе инерции -тй*, выраженной через относительные
координаты. Этот член можно истолковать как приложенную нагрузку,
обусловленную возможными изменениями определяющих движение координат от
абсолютных к относительным. Собственные значения и собственные функции,
найденные в относительных и исходных координатах, равны между собой (в
случае, когда оба конца стержня жестко закреплены), поскольку
коэффициенты т и г в уравнении (л) имеют то же значение, что и выше.
Если функции gi (t) и g2 (t), описывающие перемещения обоих концов
