Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Затем представления (т) умножаем на МХп и полученные результаты
складываем с результатом указанных преобразований над соотношениями (с),
что в итоге дает
Фог ( т \ XiXjdx ¦+- MXuXji\ = m j Д(х) X, dx ~f- МД(/) Xп\ (у)
t=l \ О /о
оо / / /
S Фог U J ХгХ;- ^ + МХцХц) = m J Д (х) X/ dx + /ИД (/) Х/7. (ф)
1=1 V о о
Используя соотношения ортогональности (5.31) и нормированное(tm)
(5.34), находим, что при t = j из соотношений (у) и (ф) получаются
следующего вида представления начальных условий в нормальных координатах:
I
\f1{x)Xidx + Lfl{i)Xll-, (5.36)
О
I
Фог = J Д (х) Хг dx -|-1Д (/) Х". (5.37)
Фог =
о
i
Фог;
о
С учетом этих представлений для функций <ро; и ф0; выражение для
динамических перемещений стержня, обусловленных заданными начальными
условиями, принимает такой же вид^что и выражение (5.25).
Для того чтобы показать, как можно определить динамические перемещения
системы, обусловленные приложенными к ней продольными силами, начнем с
того, что запишем уравнение движения для малого элемента стержня (ем.
рис. 5.5):
miidx - ru"dx = Q (х, t) dx. (x)
На правом конце стержня из выражений (а) получаем условие вида
Miii fu'i = 0. (ц)
Подставляя в уравнение (х) представления (5.17), затем умножая на Xj и
интегрируя по длине стержня, найдем
оо/l I \ I
J X;X/ dx - / срj J X'lXj dx I = J X/Q (x, t) dx. (ч)
(=1 V о о Jo
349
Подстановка аналогичного представления в соотношение (ц) и умножение
затем на Хц дает
? {M'ifiXuXji + rytX'uX/i) = 0. (ш)
1=1
Складывая почленно соотношения (ч) и (ш), приходим к соотношению вида
2 Ф1 | XtX,dx + МХцХц j - <p,r ^ j X'lXj dx - XUX,i
i
= J X,Q(x, t)dx. (щ)
о
Из условий (5.31), (5.33) - (5.35) ортогональности и нормированное(tm)
следует, что при i = / имеем
i
rrupt + mpjepi ~ j XiQ (x, t) dx. (э)
о
Если правую и левую части этого уравнения разделить на т, в результате
получим уравнение (5.26), в котором q (х, t) = Q (х, t)/m. Поэтому
динамические перемещения, соответствующие i-й форме колебаний, будут и
здесь представляться выражением (5.27), а суммарные динамические
перемещения можно найти из выражения (5.28). В случае действия
сосредоточенной нагрузки Рх (t), приложенной в точке хх (см. рис. 5.5),
динамические перемещения можно найти из выражения (5.29). Если х = /, это
означает, что сосредоточенная сила прикладывается непосредственно к массе
М, поэтому данный случай не требует специального исследования.
Все изложенные выше рассуждения в этом параграфе относились к случаю,
когда жесткость k пружины (см. рис. 5.5) равнялась нулю, а
сосредоточенная массаМ была ненулевой. Рассмотрим теперь противоположную
ситуацию, когда А^ОиМ =0. В этом случае сила, передаваемая пружиной к
концу стержня при его колебаниях, будет равна - k (u)x=i. Согласно этому
концевые условия для стержня примут вид
(и)х=о = 0; г ("')*=/ = - k (и)х=1. (а')
Рассуждая, как и в случае сосредоточенной массы, приходим к выводу, что
для нормальных функций следует взять выражение
Xt = Dt sln (ptx/a), (б')
и тогда второе концевое условие в (а') приводит к соотношению
rp. р.1 р.1
- COS -L- = - ? sin -. (в')
а а а 4 7
Если ввести безразмерный параметр = тРрУк, частотное уравнение можно
представить в следующей компактной форме:
6(tg?, = -Ci, (5.38)
350
где, как и выше, ?г = р4а//. Таким образом, приведенная ранее таблица
числовых значений для первой формы колебаний будет применима и в данном
случае, если параметр г| заменить на - Когда жесткость k пружины мала (k
-"¦ 0), уравнение (в') превращается в частотное уравнение для стержня с
незакрепленным правым концом и жестко закрепленным на левом конце. С
другой стороны, когда k велико (к -"¦ сю), уравнение (в'), если его
разделить на k, перейдет в частотное уравнение для стержня, жестко
закрепленного по обоим концам.
Для того чтобы получить соотношения ортогональности для стержня,
подпружиненного на конце, поступим так же, как и в случае стержня с
сосредоточенной массой, прикрепленной к его концу. В этом случае вместо
соотношений (к) и (л) следует взять
Вычитая эти равенства почленно из соотношений (з) и (и), получим
следующие комбинированные соотношения:
Интегрируя по частям интегралы, стоящие в левых частях этих соотношений,
и вычитая соотношение (е') из соотношения (ж), получим соотношения
ортогональности для рассматриваемой системы:
Сравнивая эти соотношения с (5.12)-(5.14), видим, что соотношение (5.39)
совпадает с аналогичным выражением для системы без пружины. Однако в
соотношениях (5.40) и (5.41) появляются дополнительные слагаемые.
Для случая i = / процедуру нормирования выполним так:
гХ'иХн = -кХцХц-, гХ'пХи = -кХиХц-
(г')
(д')
г j X'iXj dx - гХ'цХц - kXnXji - - mpi j XtXj dx\ (e')
0 о
1 i
о
о
r j X"jXt dx - гХ'цХц - kXnXji = - mp) j XtXj dx. (ж')
о о
(5.39)
о
i
r J X'iX'j dx -)- kXnXji = 0 при i Ф j;
(5.40)
о
i
v J XiXj dx - гХцХ/i - kXnXji = 0 при i Ф j.
(5.41)
о
о
i i
r j X'tXt dx - rXuXu - kXh = -r j (Xif dx - kXh = - mp\. (5.43)
