Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 130

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 178 >> Следующая

где стоящий в правой части интеграл является нагрузкой, соответствующей
i-й форме колебаний.
Динамическое поведение, соответствующее i-й форме колебаний, описывается
с помощью интеграла Дюамеля
1 t
Фг = -^7 j j ?(*> t') sin pi (t - t')dt'dx. (5.27)
1 о о
Подстановка этих функций, зависящих от времени, в представление (5.17)
дает суммарное динамическое перемещение в виде
oo I t
и = ^ у- j Xi j q (x, t') sin pi (t - t') dt' dx. (5.28)
i=l 1 о 0
Если нагрузка Рг (t) является сосредоточенной и приложенной в точке хг
(см. рис. 5.4), интегрировать подлине стержня не требуется. Динамическое
перемещение при такого рода нагружении вычисляем по более простой формуле
OO t
и = Sin Pi (t-t')dt', (5.29)
1=1 " 1 о
где через Х;1 обозначена нормальная функция Xt, соответствую-щаяТслучаю
приложения единичной нагрузки в точке ду; qx (t) = = P^{t)!m.
343
Метод нормальных форм колебаний для исследования неустановившегося
поведения стержня при действии возмущающих сил эквивалентен методу
возможной работы, изложенному в предыдущем параграфе. Ниже приведены
примеры, демонстрирующие применения выражений (5.28) и (5.29)
соответственно для распределенной и соредоточенной возмущающих сил.
Пример 1. Предполагается', что стержень, показанный на рис. 5.4, жестко
закреплен на левом конце и не закреплен на правом, исследовать его
динамическое поведение при внезапном приложении равномерно распределенной
продольной силы интенсивностью Q.
Решение. Поскольку нагрузка q = Qlm не зависит ни от времени t, ни от
координаты х, ее можно вынести из-под знака интеграла в выражении (5.28).
Рассматривая свободные колебания этого стержня, получим
pt = ina/(2l); = IT sin (р;*/а), i = 1, 3, 5, . . ., oo.
Для того чтобы пронормировать функции А; в соответствии с выражениями
(5.22), следует взять О; = J/*2//. Тогда выражение (5.28)Тпринимает вид
оо i t
2Q \1 1 Pix С Pix С
и = -Ш L FS,n~J Sin-J sinPi(t-t)dtdx =
i=l, 3, 5, . . . 1 0 0
4Q V 1 • PiX n
=----- 7 -5-sin (1-cos p.A =
я tn ;Dj a ' >
(=1, 3, 5, . . . y
OO
16/2Q VT 1 . inx (, inat \ , .
= даг 2j sin "2/" ( cos ~a~)• (ш)
1=1, 3, 5, . . .
Пример 2. Исследовать динамическое поведение стержня, взяв такие же
концевые условия, как и в примере 1, на случай, когда внезапно снимается
нагрузка Р, первоначально приложенная к правому концу х = / стержня.
Решение. В этом случае для получения динамических перемещений в стержне
воспользуемся выражением (5.29):
2 Р 1 Р,х ptl г ,
- 7 -sin sin sinp.n - t)dt =
Itn p. a a J '
i=l, 3, 5, .
2 P УГ\
Im
J_ PiX Pi1 Pi
, sin sin (1 - cospT)
4 a a ' 1 >
i=l, 3, 5, ,
8 IP (- i)(i-D/2
n^a^m
;=1,8, 5
S(_l. inx
Ji-s,n "2r('~ C0Spi0-
Полученное выражение совпадает с выражением (н), найденным в п. 5.3.
ЗАДАЧИ
5.4.1. Предположим, что сила Р0, первоначально действующая на
стержень, приложена не в середине пролета, а на расстоянии, равном одной
трети длины стержня (х = 1/3). Используя подход, основанный на
рассмотрении нормальных
344
форм колебаний, исследовать свободные колебания, возникающие при
внезапном снятии указанной силы.
2Р0 1 inx Г / j
°твет: и = __ у:S1"'- [Ш {
1=1
3 sin
in
2in '
I 2in
-Tcos-
cos-
inat
I
5.4.2. Предположим, что правой половине стержня, показанного на рис. 5.2,
а, задана в момент времени t = 0 начальная скорость v в продольном
направлении. Исследовать свободные колебания стержня, обусловленные
указанным условием.
Ответ: и = V'
пга i_J
in inx inat •соз-sm-sin-g-
1=1, 3, 5, . .
5.4.3. К стержню с жестко закрепленными концами внезапно прикладывается
распределенная продольная нагрузка, которая изменяется по линейному
закону от нулевого значения при х = 0 до значения Q при х = I. Методом
нормальных форм колебаний исследовать динамические продольные перемещения
этого стержня.
2l2Q IV' (- I)1'-1 . inx f, inat \
Ответ: и = --p s>n ~[~ 1 - cos -j~ J •
n3a2m'
1 t=i
5.4.4. Определить динамические продольные перемещения стержня с
незакрепленными концами, если в середине пролета х = //2 прикладывается
изменяющаяся во времени продольная сила Р = Рг (t/ti)2.
Ответ: и =
/V4
2//\
(-1)
i/2
12 lmt\ nla2mt\
inx COS -;- X
=2,4,1
x U2-
2/2
(ina)'2
(¦-
inat \ ]
C0S~J~ ) J
5.5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ С МАССОЙ ИЛИ ПРУЖИНОЙ НА КОНЦЕ
Кроме обсуждавшихся в предыдущих параграфах концевых условий типа
жесткого закрепления или свободных от закреплений концов могут
встретиться случаи сосредоточенной массы или упругого подкрепления, что
изображено у правого конца стержня, показанного на рис. 5.5. Оба этих
случая будут рассмотрены в этом параграфе с помощью метода нормальных
форм колебаний.
-wwvww-|
dx
х,и
Рис. 5.5
345
Сначала рассмотрим случай, когда жесткость k пружины (см. рис. 5.5) равна
нулю и имеется только сосредоточенная масса М, присоединенная к правому
концу стержня. При этом сила, передаваемая от сосредоточенной массы к
концу стежня при колебаниях, равна -М (й)х=1. Таким образом, концевые
условия для стержня можно представить в следующем виде:
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed