Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
P{tf" = 2/} = (")py-/ (1)
при / = 0, 1, ..., п. Далее, n(z) = q + pz2, и формула (8) § 7
при-
нимает вид
О (z) = (Ч + рг^ (2)
(\-z)(q-pz)' ^
откуда
Q=v1f=^ при ^
36
Гл. 2. Флуктуации сумм случайных величин
И
Qfc = 2Q06 при р=*<7, 1. (4)
Здесь у -2р. Если у^1,' то 6=1, и если у>1, то 6 = q/p.
2. Последовательность Паскаля. Пусть Vj, v2, ... .. vr, ... - взаимно
независимые одинаково распределенные случайные величины, причем Р {vf =
/'} = pqJ, /' = 0, 1, 2. где
p + q = 1, 0 < р < 1. Тогда Я/ = рру для / = 0, 1,... и я(г) = = р/(1 -
qz). Теперь
P{Nn = j} = (n+ni~[ )pV (5)
при / = 0, 1, 2,__ Формула (8) § 7 принимает вид
<6>
откуда
Q* = Qo ~ при р ^ q' k^°
и
Q/, = Qo(&+1) при р = р, &>0. (8)
Здесь \ = p/q. Если у^1, то 6=1, а если у>1, то 6 = р/р.
3. Последовательность Пуассона. Пусть vb v2, ... ..., vr, ...-взаимно
независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением
Р{v, = /He-"-y, / = 0, 1, 2............. (9)
Тогда n(z)== е~а{1~г) и
Р{Л^ = ;} = е-(tm)^, / = 0, 1, 2.......... (10)
Формула (8) § 7 принимает вид
Q <*>-,_ А" <и>
откуда
Q* = QoS(-1)V<*-/)-№^ (12)
/"0
для k = 0, 1, 2, .... Здесь у = а- Если уг^ 1. то 6 = 1, а если у > 1, то
6 - единственный корень уравнения е-а(1~б) = 6 в интервале(0, 1).
4. Последовательность Пойа (см. Эггенбергер и
Пойа [9]).Пусть в урне а белых и b черных шаров. Производится
выборка по одному шару. После каждой выборки шар возвращается в урну
вместе с другими с шарами того же цвета. Положим vT = h, если r-й
вытянутый шар белый, и vr = 0, если г-й вытянутый шар черный; h -
положительное целое число.
§ 10. Примеры
37
Здесь vb v2, ..vr, ... - переставляемые случайные величины. Для них Р {v,
= h] = а/(а + b), Р {v, = 0} = b/(a + 6) и Е {vr} = ah/(a + b) для г = 1,
2 Далее,
/а + y-l \/р + п-/-1\
ЦЦ.-//Ц--1 ¦¦ |а-+р+,-Г| "¦ (13)
где / = 0, 1, ..., а = а/с и р = й/с. Кроме того,
Р {Nn = )h, ЛГ"+т "(/ + *) Л}-
/ а + / - 1 W Р + n - j- l\/a + j + k - lWp + " - j + m - k - 1 \
_ I j A n-j /I k /I__________m-k_________/ .ч
| а + p + n- 1 j ^а + P + n + m - 1 j ' '
для / = 0, 1, ... И & = 0, 1, ..., m.
Определим теперь такую случайную величину 0, что при данном значении 0
случайные величины v,, v2, ..., v,, ... независимы и одинаково
распределены. Если предположить, что Р {v2 = h) = 0, Р {v, = 0} = 1 - 0 и
функция распределения для 0 задается равенством
X
Р{е<*} = Г(1т?(р)) Iya~x^-yf~'dy (15)
о
то V], v2, ..., v" ... будет определенной выше последовательностью Пойа.
Иначе говоря, последовательность Пойа можно представить как
рандомизированную последовательность Бернулли.
Далее, Е {v, 10} = Л0 с вероятностью 1 и по теореме 1 § 5
Р {N, <г для г - 1, 2... | 0 = х} = [ 1 - hx]+, (16)
а соответствующая безусловная вероятность равна
1 /Л
Р{N,<r для г = 1, 2, .. .} = | (1 - hx)dP{Q <;*}. (17)
о
Так как
Р{ЛГп = /Л|0=-дс} = (-^)*'(1 -х)п-' (18)
для / = 0, 1, ..., п, то в силу теоремы 3 § 6 Р{ sup (Nr - г) <k |0 = х)
=
= 1-(1-A*)'S {lh;k)x\\-x)Hh-x)-\ (Ш)
. шнт
38
Гл. 2. Флуктуации сумм случайных величин
если 0^x<l/h. При x^\/h эта вероятность равна 0. Тогда безусловная
вероятность равна
Р{ sup (Nr - г)<&} = Р{0< 1/А} -
1<Г<00
1/А
- 2 [lh7k) \(i - Лх)jc'(1 - {0 ^jc} (20)
/>(ft + l)/A 0
и из формулы (6) § 8 следует, что равенство
ОО
Р{ sup (r-N,)<k}=l-Y.±P{N,=*l-k) (21)
/-* '
справедливо для всех &>0.
§ II. ДРУГИЕ МЕТОДЫ
В этой главе мы нашли распределение случайной величины шах(0, Ч- ^2> • •
* > Ч- • • • Ч- где • • • > • • •
либо переставляемые случайные величины, либо взаимно независимые
одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения - 1, 0,
1, 2, ... или 1, 0, -1, -2, ....
Если ?2> •••> ?ri ...-взаимно независимые одинаково распределенные
случайные величины с произвольным распределением, то Для нахождения
распределения случайной величины
ti" = шах(0, h,li+l2 Ii4- ... +1п) можно применить метод.
Полячека [16], Спарре-Андерсена [1], Спицера [17] и Феллера [10], Мы
изложим этот метод, предварительно введя оператор А и изучив его основные
свойства.
Пусть G (х) - неубывающая функция ограниченной вариации в интервале (-
оо, оо). Тогда
ОО
y(s)= | e~sxdG (х) (1)
- оо
и этот интеграл сходится при Re(s) = 0. Если дана функция y(s), то
оо
у +(s)= | e~s*4G(x) (2)
-о
определяется однозначно при Re(s)^0. Зададим оператор А равенством
y+(s) = Ay(s). (3)
§ 11. Другие методы
49
Этот оператор линейный и А2 = А. Пусть
оо
G(x)^^Fn(x)t (4)
п=О
где Fn{x) есть п-я свертка функции распределения F(x) с собой; /г0(л:)=1
для х^О и F0(x) = 0 для х<0. Если
оо
qp(s)= | e~sxdF(x), (5)
- оо
при Re(s) = 0, то преобразование Лапласа -Стильтьеса функции
распределения G {х) равно
у (s) = еаф (s) (6)
при Re(s) = 0. Далее мы будем использовать следующие два утверждения,
справедливость которых видна непосредственно.
(i) Если Aqp (s) = qp (s), то Ay (s) = еаф (s).
(ii) Если Аф(5) = 0, то Ay(s)=l.
Теорема 1. Пусть gj, g2> •••> Ее. •••-взаимно независимые одинаково
