Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
с переставляемыми приращениями, а затем будем изучать процессы со
стационарными независимыми приращениями.
В дальнейшем мы будем писать dxP {% (и) ^ х} = Р {х < % (и) < < х + йх}
независимо от того, зависит и от х или нет.
Теорема 1. Если {% {и), 0 ^ и Т} - сепарабельный случайный процесс с
переставляемыми приращениями, почти все выборочные функции которого
являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в 0 при и =
0, то
Р{ sup [х(")-"]<*)"
О <u<f
= р {%{tXt + x}~ J J [jz^)dydzP{x{y)^y+x, x(t)<z+x} (1)
0<-ysZz<t
для всех х и / е(0, Т].
Доказательство. Мы докажем чуть более общее утверждение, из которого
будет следовать формула (1): если с^О, то
Р {% (и) ^ и + х Для 0 ^ ы ^ f и %(t) ^.t + х - с) =
= Р{х(0<* + *-с}-
JJ (j^f)dydzP{%(y)^y + x, %(t)^z + x} (2)
для всех х и ^ ^ (0, Т]. Достаточно доказать, что вычитаемое
в правой части этого равенства есть вероятность того, что
+ х - с и %(и)>и + х для некоторого и G (0, f]. Положим
у=sup {и: %(и)>и + х и O^u^t - с). Тогда %{у) = у+х и %(и)^.и + х для у
- с, что эквивалентно неравенству % (и) + % (у) и - у
для y^u^t - с. При условии, что х(у) = У + х и %{t) = z + х, вероятность
того, что %(и) - %{у) ^ и - у для у *?T.u<T. t - с, равна (t - z)/(t - y)
при - с. Это следует из теоремы 1 § 13,
если применить ее к процессу %(у + и)-%{у), 0^.u^t - y. Если
проинтегрировать (t-z)/(t - y) по мере dydzP {%{у)^у + х, х(0^2 + л:} = =
Р {у + x<%(y)<y+x + dy, z-y<%(t)-x(y)<z-y + dz) в области 0 < у tST-z^t -
с, то получится как раз вычитаемое в правой части
§ 15. Распределение верхней грани значений процесса (х(")""} 53
равенства (2). Формула (2) доказана. При с = 0 из нее следует формула
(1).
Если х = 0, равенство (2) сводится к равенству
Р(х(и)^и Для и %(/)</ - с} =
i-c
= J (l-Щр6с(О<0}, (3)
о
где Это становится очевидным, если применить фор-
мулу (2) § 13.
Теорема 2. Если {% (и), 0 ^ и ^ Т} - сепарабельный случайный процесс с
переставляемыми приращениями, почти все выборочные функции которого
являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в 0 при и =
0, то для всех t е (О, Т]
t
Е{ sup [х (и) - "]} = Г -77Е ([х (У)~ y]+}dy. (4)
Доказательство. Формула (4) следует из (1), поскольку
оо
Е{ sup [%(") - и]} = Г Р{ sup [%(u) - u]>x}dx. (б>
0<ы<< J О
Если р конечно, то обе части формулы (4) также конечны, а если р = оо, то
они бесконечны.
Если, в частности, (х (и), 0 ^ и ^ Т] - процесс со стационарными
независимыми приращениями, то в формулах (1) и (2) можно заменить dydzP
[%(у) <у + х, х(0 <г + х} на Р {у +х<%{у)<у+ + x + dy}P{z - y<%{t) -
%(y)<z - y + dz}. Тогда формула (1) принимает вид
Р{ sup [х (")-"]<*} =
о <"</
= Pfec(0<* + *}- J е{[1 --?^7I]+}^P{x(f/)<f/+^ (6)
+0
или, если ввести обозначение
W (t, х) = Р { sup [х (и) - и] < х}, (7)
ВИД
t
W(t, х) = Р {%(t)<t + x}- J W(t-y, 0)dyP Ш<у + х}. (8)
+0
54
Г л. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
Применяя преобразование Лапласа - Стильтьеса к этому уравнению, можно
найти W (t, х). Положим
оо
G(f, s)= | e~sxdxW(t, x), (9)
о
причем интеграл сходится при Re(s)^0. Если
Е{е-5х(")} = е-"ф<*) (Ю)
для Re(s)^0, то преобразование Лапласа - Стильтьеса уравнения (8)
можно переписать в виде
t
Q (t, s) = ets-4>(s)if - s | W (t - y, 0)e[s~°(s)]!/ dy. (11)
Отсюда
00
1
J>"Q (t, s)dt=g_,' 1 - s J" e~ztW{t, 0)dt
(12)
для Re(2)>0. Если Re(2)>0, то левая часть равенства (12) ограничена в
области Re(s)^0. В этой области знаменатель правой части имеет один и
только один корень 5 = 0(2), который должен
быть также и корнем числителя, т. е.
00
/,--1Г",0)Л=^ (13)
О
для Re(2)>0, где s = 0(2) - единственный корень уравнения <D(s) = s -2 в
области Re(s)^0. В соответствии с этим 00
/.-он, (14>
О
если Re(2)>0 и Re(s)>0. И, наконец, W(t, х) находим по формуле обращения.
Теорема 3. Предположим, что {% (и), 0 < и < оо} - сепарабельный случайный
процесс со стационарными независимыми приращениями, почти все выборочные
функции которого являются неубывающими ступенчатыми функциями,
обращающимися в 0 при и = 0. Если р> 1, то
00
Р{ sup [%(")-"] <*}= 1 -(1 -р) С dyP {% (г/Х г/+ *} (15)
0<и<°о _"0
§ 15. Распределение верхней грани значений процесса {/(ы) - и) 55
для всех х. Если р^" 1, то
Р{ sup [% (и) - ы] < х} - 0 (16)
0<ц<оо
для всех х.
Доказательство. По теореме непрерывности для вероятностей
Р{ sup [% (ы) - ы] < х} = lim Р{ sup [%(") - "]<*}, (17)
0^ц<оо t->oo O^u^t
правую часть можно получить по формуле (6).
Рассмотрим сначала случай р<1. Из слабого закона больших чисел следует,
что
lim Л = р
/->оо 1
по вероятности. Отсюда limР{%(/)<t + л;} = 1 для всех х и
t->oo
08)
для любого у^ 0. Покажем, что
оо
/^Р{х(г/)<г/ + 4<7Г7 (19)
+о
для всех х. Если в формуле (6) перейти к пределу при t-* оо, то получится
(15). Докажем (19). Если принять во внимание, что правая часть формулы
(6) неотрицательна, Р {%(/) + х} ^ 1 и
E{[l-JU?f^]+}>E{l-jU^i}=l-p, (20)
то сразу получим неравенство
t
