Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 20

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 91 >> Следующая

(1 -Р) J dyP{%(y)^y + х) < 1, (21)

справедливое для всех t^0 и х. Формула (19) доказана.
Пусть теперь р>1. Тогда lim Р {%(/) + х} = 0 для всех х и
?->°о
неравенство
0<Р{ sup [%(ы)-ы]<л:}<Р{%(/Х/ + х) (22)
0<ц<(
влечет (16).
Наконец, если р=1, то соотношение (5) § 14 дает
Р{ sup [%(ы)-ы]<0} = 0, (23)
0<Ц<О9
56
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
откуда при следует (16). При *>0 можно найти такое у,
что 0 <х<у и Р [% (у) < у - х} > 0. При этом (16) вытекает из очевидного
неравенства
Р {% (У) < У - х) Р {q jsup ^ [% (и) - и] < х} <
^ [х(ы)-и]<0} = 0. (24)
0< и < оо
Доказательство теоремы закончено.
Замечание. Если процесс {%(и), 0^и< °о} имеет переставляемые приращения,
то его можно представить как процесс с условно стационарными и
независимыми приращениями. Тогда условное распределение величины sup
[%(") - "] можно найти
0 < и < оо
из соотношения (15), после чего безусловное распределение получается,
если взять математическое ожидание.
Теорема 4. Если {% (и), 0 ^ и < оо} - сепарабельный случайный процесс со
стационарными независимыми приращениями, почти все выборочные функции
которого являются неубывающими вещественными функциями, обращающимися в 0
при и - 0, то при р < 1
Р{ sup [% (и) - и] < х} = W {х), (25)
0 < U < ОО
где W {х) = 0 для х < 0, W (0) = 1 - р и
оо
Q (s) = f в- dW (х) = (26)
о
при Re(s)>0.
Доказательство. Согласно формуле (5) § 14, W(0) =1 - р. Далее, очевидно,
что Ц7'(д:) = 0 при *<0. Найдем W {х) при *>0. Если 0<у и 0^у + х, то
у+х у
W{x)=\w{y + x-z) dz Р {% (у) <z}-W(0)$ dz Р {% (Z) < г + *}. (27)
о о
Первый интеграл в правой части равенства (27) есть вероятность того, что
%(y) = z (Q^.z^y + x) и %(и) - для y^.v<oо.
Второй интеграл есть вероятность того, что неравенство %(v) - v ^.х
нарушается для некоторого о из интервала (0, у), но %(v) - v^x при
y^.v<oo. Если z = sup{u: x(o)~f>^ и то
%(z) - z = x и событие {%(u) - v^x для z<ju<°o} имеет ту же вероятность,
что и событие {%(п) - % (2) v - z для 0 ^ v - z< °о}, а именно W (0).
Итак, мы нашли интеграл в правой части равенства (27). При - у^.х< 0
правая часть этого равенства равна 0, ибо она представляет собой
вероятность невозможного события.
§ 15. Распределение верхней грани значений процесса {у (и)-и) 57
Положим
ОО
Q(s)= | e-sx dW(x) (28)
О
для Re (s)^ 0 и возьмем преобразование Лапласа - Стильтьеса от обеих
частей равенства (27). Получим
у
Q (s) - еУ '5"ф (s)1Q (s) - W (0) s J ег ~ф <S>J dz (29)
о
для всех t/> 0. Так как
' Г г еИ["-Ф (*)]_,
= (30)
о '
для Re(s)>0, то
<31>
для Re(s)>0, и формула (26) доказана.
Мы определили W(х) как функцию, непрерывную справа. Таким образом, W(х)
однозначно определяется своим преобразованием Лапласа - Стильтьеса (26).
Поскольку W (х) - неубывающая функция от х и 0^Ц7(х)^1, то lim W {х)
существует и по тео-
Х->оо
реме Абеля (см. дополнение)
(32)
В соответствии с этим sup [%(") - "] при р<1 является соб-
0< и < °°
ственной случайной величиной, конечной с вероятностью 1. Используя слабый
закон больших чисел, мы показали, что Ц7 (0) = 1 - р, и отсюда по теореме
Абеля заключили, что lim W{x)= 1. Силь-
Х->оо
ный закон больших чисел позволяет непосредственно доказать последнее
соотношение, а по теореме Абеля из него следует, что Г(0)= 1 - р.
Так как р < 1, то Ф (s) = ряф* (s), где ф* (s) - преобразование Лапласа -
Стильтьеса функции распределения, определенной равенством (19) § 14.
Согласно (26),
ОО
Q<s>= i-PV(5) = (1 " р) S pn W {s)]n (33)
я = 0
для Re(s)^0, и формула обращения дает
щ*И(1-Р)|]рпя;(*), (34)
я" 0
58
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
где Н*п{х) есть п-я свертка функции Н* {х)\ Я*(л:)=1 при х^О и #*(*) = 0
при х<0.
Функция W {х) является единственным решением интегрального уравнения
W (ж) = (1 - р) Я; (ж) + р/Г (ж) * W (ж). (35)
Интересно заметить, что если уравнение Q(s) = s имеет корень s= - а в
области Re(s)<0 и не имеет других корней в области - а ^ Re (s) < 0, то
i-^W-ф, Д~(-| (36)
при Х-> Оо.
Замечание. Сравнивая формулы (15) и (25), получаем интересное тождество:
если р < 1, то 00
{ dyP h(y) <У + Х} = -~-?У , (37)

где VF (л:) = 0 при ж<0, W (0) = 1 - р, a W (х) для х>0 задается
формулами (26) или (34).
§ 16. КОНТИНУАЛЬНОЕ ОБОБЩЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ О РАЗОРЕНИИ
В § 7 мы доказали дискретное обобщение классической теоремы о разорении.
Здесь докажем непрерывный аналог этого утверждения.
Теорема 1. Пусть {% (и), 0 ^ и ^ со} - сепарабельный случайный процесс со
стационарными независимыми приращениями, почти все выборочные функции
которого являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в 0
при и = 0. Для с ^ О положим
0(c) = inf{": %(и)^и - с и 0^и<оо} и 0(с) = оо, если %(и)>и - с для всех
и^О. Если О^х^у, то Р {х(ы)-ы<* для 0 < и < 0 (у - ж)} = -^у- (1)
и
00
Q(s)=JV" dW(x) ^§±- (2)
о
для Re (s) > to, где со - наибольший неотрицательный вещественный корень
уравнения 0(s) = s. Если р^1, то со = 0, а если р>1, то to>0. Здесь
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed