Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 15

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 91 >> Следующая

распределенные случайные величины, для которых
Е {е-5Ч =Ф(") (7)
при Re(s)>0. Пусть ri" = max(0, g,, gi+g2, •••, !i + •••
+U и
Е{е~5,1"} = Фп(5)
при Re (s) ^ 0. Если 0 ^ w < 1 и Re (s) ^ 0, то
оо / оо \
2 Ф" (s) wn = exp \У ^ А {[ф (а)П , (Э)
"=¦ о /
или
оо
2 (r)"(s)ay" = exp(- A {log [1 - а>ф(а)]}). (10)
гс = 0
Доказательство. Из определения величины следует,
что
Tln = max(0> + (И)
где случайная величина t)*_j имеет то же распределение, что и и
независима от g]. Таким образом, O0(s)=l и
Ф"(5) = А {ф(5)Ф"-Дя)} (12)
40
Гл. 2. Флуктуации сумм случайных величин
при п= 1, 2, ... и Re(s)^0. Решение этого рекуррентного соотношения
задается производящей функцией (9). В самом деле, из (9) и (i) получаем
( ОО 1 / ОО \ 00
А =ехр 2^А{[ф(5)Г} ) = %<DAs)wn, (13)
[ I \п=1 ! п = О
а из (9) и (и) -
оо j
[1 - икр (s)] 2] Ф" (s) wn | =
П = 0 I
= A j exp S --[(фООГ- Л (ф(s) j= 1. (14)
Два последние равенства дают
{ОО 'к СО
(r)Ф (s) 2 Фп (s) wn = 2 Фге (s) wn - 1 (15)
n-= 0 J n=0
¦при 0^.w< 1 и Re(s)^0. Отсюда следует, что O0(s)= 1 и функции Ф/Дя), п=
1, 2, ..., удовлетворяют соотношению (12). Теорема доказана.
Из формулы (9) следует, что
ф (S)= V И(ф (s) )]fe> [А (ф (5) )ф ... [А (ф (5)
)"]*" (16)
*j+2ft2+ ... +nkn=n ki\ k2l ... kn\\ '2 2 ... n n
и распределение величины т}" можно вычислить по формуле обращения.
Теорему 1 в форме (10) доказал Полячек [16]. Но он ограничился случаем,
когда ф(е)<оо для некоторого е>0, и задал оператор А равенством
8+/оо
J -пй)-*- (17)
е- ioo
Заметим, что это равенство можно использовать также при в = 0, если
определять интеграл в смысле главного значения Коши. Форма (9) теоремы 1
приводится у Спицера [17].
Во многих случаях производящую функцию (9) можно получить так. Пусть
1 - даф($) = [ф+ (s, ay)]a[0-(s, wjf (18)
при Re(s), где a=±l,'P=±l, функция Ф+(s, w) регулярна и
отлична от нуля в области Re(s)>0 и непрерывна при Re(s)<0,
§ 11. Другие методы
41
а Ф (s, w) регулярна и отлична от нуля в области Re(s)<0 и непрерывна при
Re(s)^0. Тогда
lim *-еФ ^5' ^ =0, Re(s)>0,
| S |-"оо S
и
lira |оеф-(''-) =0, Re(s)<0.
I J | -"oo 5
Отсюда
A{log [1 - ?nxp(s)]} = a log Ф+ (s, w) + p log Ф~ (0, w) (19)
(1 - aw) 2 =
n=0
Ф+ (0,
. Ф+ (s, w) .
(20)
при 0<да<1 и Re(s)^0.
Величина
ri = sup (О, ?ь h + l2> • ••> ?i + ••• +Er. • • •) (21)
будет собственной случайной величиной, если Е{?,}<0. Если
E{Ei}^0 и Р {?,1 = 0}=т^= 1, то Р{т] = оо}=1 (см. дополнение). Если
E{|i}<0, то при Re(s)>0
Ф (s) = Е {es1>} (22)
существует и (r)(s) = lin^"(s). По теореме Абеля из формулы (9)
П->оо
вытекает, что
ОО / ОО V
Ф(в) = lim (1 - w) Ф" (s) wn = exp ( - ]?j -^[1 -AMs))"]). (23)
W->1 ,
n=0 \ "=!
Этот результат принадлежит Тэклинду [27] и Спицеру [17]. В силу формулы
(20)
a.(S)- Пт [(r)^g-=I]". (24)
Очевидно, что ri имеет то же распределение, что и (0, ? + ti), где
случайная величина ? независима от ц и Р {? <! х} = Е (х) (Е (х) - общая
функция распределения случайных величин %г, г = = 1,2, ...). Если
Е{?,}<0, то функция распределения W(*) = = Р {ц < *} удовлетворяет
следующему интегральному уравнению типа Винера - Хопфа:
| = | j W (х - у) dF {у) для х > О,
оо
О для х < 0.
W(X)-
(25)
42
Гл. 2. Флуктуации сумм случайных величин
§ 12. ЗАДАЧИ
1. При Галлотировке кандидат А набирает а голосов, а кандидат В набирает
Ь голосов, причем все возможные избирательные протоколы равновероятны.
Предположим, что рб < а + с, причем рис - положительные целые числа.
Обозначим через аг и рг числа голосов среди г зарегистрированных,
поданных за А и В соответственно. Найти вероятность Р = Р {рРг<аг + с для
г= 1, 2,... а + Ь).
2. Два игрока А и В разыгрывают между собой последовательность игр. В
каждой игре, независимо от остальных, либо А выигрывает одну монету у В с
вероятностью р, либо В выигрывает одну монету у А с вероятностью q (р 4-
<7=1, 0<р<1). Предположим, что первоначальный капитал игрока А составляет
а монет, а у В имеется b монет. Игра продолжается до тех пор, пока один
из игроков не разорится. Найти вероятность РА того, что разорится именно
А.
3. Обдумать предыдущую задачу для случая, когда В обладает бесконечным
капиталом. Найти распределение и математическое ожидание
продолжительности р (а) игры.
4. Два игрока разыгрывают между собой последовательность игр. Игры
независимы друг от друга. Предположим, что в начале игры А имеет а монет,
а В имеет b монет. В каждой игре либо А выигрывает k монет (k = 0,1, 2,
...) у В с вероятностью pqk+1, либо В выигрывает одну монету у А с
вероятностью р (р + q - 1, 0 < р < 1). Игра продолжается до тех пор, пока
один из игроков не разорится. Найти вероятность РА того, что разорится
игрок А.
5. Рассмотреть предыдущую задачу в случае, когда В обладает бесконечным
капиталом. Найти распределение и математическое ожидание
продолжительности р (а) игры.
6. Пусть vi, v2 V/- ... - взаимно независимые одинаково распределенные
случайные величины с распределением Р {vr = 0} = р, P(vr = 2} = p, где p
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed