Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
Из формулы (6) следует, что [{п - Nn)jti]+ стремится к [1 - у] + по
вероятности, а так как величины [(п - Nn)/n]+ ограничены в совокупности,
то
(10)
Формула (7) получается теперь из формул (9) и (10).
Теорема 2. Если v,, v2, ..., vr, ... - бесконечная последовательность
переставляемых случайных величин, принимающих неотрицательные целые
значения, то
I
P{Nr<r для r= 1, 2 ...} = J (1 -x)dG(x), (11)
о
где функция G (х) определена формулой (5).
Доказательство. Можно воспользоваться формулой (9). Так как величины [{п
- Nn)/n]+ ограничены в совокупности, то из формулы (5) получаем
Hm E{[l-^]+}= \{\-x)dG{x), (12)
и теорема доказана.
Далее нам понадобятся следующие две теоремы.
Теорема 3. Пусть w - 6 - наименьший неотрицательный вещественный корень
уравнения
n{w) = w. (13)
Тогда если у ^ 1 и то 6=1. Если же у>1 или itj = 1,
то 0 ^6 < 1. Уравнение (13) не имеет других корней в круге | w | ^6.
Доказательство. На отрезке 0 w 1 обе функции я (w) и я' (w) не убывают по
w, причем я (1) = 1 и я'(1) = у. Если у = я'(1)<Д и Я] =7^=1, то
уравнение (13) имеет один и только один корень на отрезке [0, 1]. Если у>
1, то на отрезке [0, 1] уравнение (13) имеет точно два корня: w = 1 и w =
6, где 0<[6< 1. Если я, = 1, то все значения w е [0, 1] удовлетворяют
уравнению (13). Отсюда следует первое утверждение теоремы. Для
доказательства второго заметим, что всегда я'(6)<Д и, следовательно, |
я(ш>) |<я' (6Х 1 при |ш|<б. В соответствии с этим при | w | ^6 и w ф 6
20
Гл. 2. Флуктуации сумм случайных величин
что показывает невозможность равенства n(w) = w при |ш|^б и w Ф 6.
Теорема 4. Если 0^г<1, то уравнение
w = zn(w) (14)
имеет точно один вещественный корень w = б (г) в интервале 0^оу<1, причем
lim 6 (г) = 6, где 6 - наименьший неотрицатель-
г-И-0
ный вещественный корень уравнения n(w) = w.
Доказательство. Так как обе функции n(w) и п'(w) на отрезке [0, 1] не
убывают, уравнение (14) имеет точно один корень на этом отрезке.
Очевидно, что б (z) - неубывающая функция от z. Так как 6 (г) <6 при
0^2<1 и lim б (z) = б' - корень
г -> 1-0
уравнения я (w) = w, то 6* = 6.
Замечание. Если |г|<1, то уравнение
w = zn(w) (15)
имеет точно один корень w=6(z) в области |и>|<1 и
оо
• не"
fTi >¦ \ dw
Действительно, если | ш | = 1, то | zn (w) | < | w |. Тогда из
теоремы
Руше следует, что уравнение (15) имеет точно один корень
в области |т)|<1. Равенство (16) получается из разложения
Лагранжа (см. дополнение).
§ 6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМУМА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Теперь мы займемся нахождением распределения случайной величины max (NT -
r) для конечного п, а также распределением
1 <г< п
величины sup (NT - r).
1 ^ Г < оо
Теорема 1. Если v1; v2, v" - переставляемые случайные величины,
принимающие неотрицательные целые значения, то
Р I max (Nr - r)<k\ =
\l < г < n I
rt-1 n - l
= Р{ЛД<п + 6}-25](1- 7ГГ7)№/ = / + *> Nn-j + k+l}, (1)
/ = 1 Д-0
где k - 0, ±1, ±2....... Если k<0, то обе части равенства (1)
равны 0.
§ 6. Распределение максимума последовательности {Мт - г} 21
Доказательство. Мы докажем чуть более общую формулу, из которой будет
следовать формула (1). Если г'=1, 2, ... и k = 0, ±1, ±2, .. ., то
Р {Nr < г + k для г = 1, 2, и Nп <1 п + k - г) =
= Р {ЛД < п + k - i) -
п-in-i-j
-2 2 (1-7пЫР^/ = ' + й' = / + * + (2)
/=1 /=о
Достаточно доказать, что вычитаемое в правой части формулы (2) есть
вероятность события {Nr ^ г + k для некоторого г = 1, 2, . . ., п - 1 и
+ Это событие может произойти
в следующих исключающих друг друга случаях: максимальное г, для которого
Nr^ г + k, равно j = 1, 2, . . ., п - i. Тогда N, = j + k и Nr < г + k
для г = j + 1, . . ., п, что эквивалентно Nr - N j<r - j для г - j + 1, .
. ft. По теореме 1 § 4
Р{Мг - N/<г - j для г = j + 1, . .., ft |Nj = j + k, Nn = j + k + 1} =
= i -l-, (3)
n - / w
если 0^/^rt - j и левая часть равенства (3) определена. Если умножить обе
части равенства (3) на Р {N/ = j + k, Nn = j + k + l) и сложить
получившиеся равенства почленно для всех (/, I), удовлетворяющих условию
1 ^ j ^ j + I ^ ft - i, то получим вычитаемое правой части формулы (2).
Формула (1) получается подстановкой i = 1 в формулу (2).
Если в формуле (2) положить k = 0, то из формулы (1) § 4 получим
Р {Nr < г для г-- 1, 2 ft и Nn < ft - /} =
Я - /
-2(i-i)pw,-/i. <4)
/=i
Теорема 2. Если Vj, v2, ..., v" - переставляемые случайные величины,
принимающие неотрицательные целые значения, то
22
Гл. 2. Флуктуации Сумм Случайных величин
га-1 ,,
1 _ ;
a-j J
(8)
равенство (5) следует из (1). Если случайная величина у конечна, то обе
части равенства (5) конечны; если у = оо, то обе части равенства (5)
равны оо.
Если, в частности, vb v2, ..., v" - взаимно независимые одинаково
распределенные случайные величины, то в формулы (1) и (2) можно
подставить
Р Wj = } + k, Na = j + k + /} = P {Nj = j + k) P {Nn - N, = 1} =
¦ =P{N, = j + k}P{Na4 = t}. (7)
В этом частном случае формула (1) принимает вид
Р I шах {Nr - r)<k\ =
