Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 10

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 91 >> Следующая

U<r<ra J
= Р {Nn<n + k) - ^ P {Nj = j + k}E
/=i
Теорема 3. Пусть vb v2, ..., vr, .взаимно независимые одинаково
распределенные случайные величины, принимающие неотрицательные целые
значения. Если у<1, то
оо
р { sup (Nr - г) < k\ = 1 - (1 - у) У] Р {N/ = / + &} (9)
U<7-<°o I ^
для всех k = 0, ± 1, ±2 Если у ^ 1 и Я] = 1, то
Р{ sup (Nr - r)<k} = 0 (10)
1 Г < оо
для всех k = 0, ±1, ± 2 Если jtj = 1, то
Р{ sup {Nr - r) = 0} = 1. (11)
i <: г < оо
Доказательство. По теореме непрерывности для вероятностей
Р{ sup (Nr - r)< k) = lim P{ шах (Nr - r)<k}. (12)
1<Г<оо n~> оо 1<Г<ГС
Правую часть этого равенства можно заменить правой частью равенства (8).
Рассмотрим сначала случай у<1. Из слабого закона больших чисел следует,
что
,¦ Nn lim - = у
п-*°о п
по вероятности. Отсюда lim Р {Nn < п + k}= 1 для k = 0, ± 1,
П-> ОО
<13>
§ 6. Распределение максимума последовательности {Nr - г}
23
для j = 1, 2, .... Мы покажем, что
оо
,•+*}<-j-
(14)
для k = 0, ± 1, ± 2, ... . Если в (8) перейти к пределу при п-+°о-то
получится (9). Остается доказать (14). Так как правая часть равенства (8)
неотрицательна, Р{М"</г + ?}^ 1 и
для всех k = 0, ±1, ± 2, . .. и "=1, 2, ..., откуда следует (14). Если
теперь у>1, то lim Р {Nn < п + k) - 0 для всех k, и из
в силу формулы (7) § 5.
Отсюда уже видно, что (10) выполняется при k^.0. Если k>0 и Я] =^= 1, то
я0>0, и формула (10) для k>0 вытекает из очевидного неравенства
Если Я| = 1, то Р{Мг = г}=1 для всех r= 1, 2, ..., откуда получаем
формулу (11).
Замечание. Если v,, v2, ..., vr, ...-переставляемые случайные величины,
то можно определить такую случайную величину 0, что V], v2, . . ., \г,
... будут условно независимы и одинаково распределены при данном значении
0. Иначе говоря, последовательность V], v2, . .., vr, ... можно получить
из последовательности независимых одинаково распределенных величин
рандомизацией параметра. Таким образом, вероятность Р{ sup (Nr - г) < k |
0}
можно определить с помощью формулы (9), а потом, беря математическое
ожидание по 0, можно получить Р{ sup (Nr - r)<k),
Кг<"
(15)
то
(l-Y)S Р{М/ = / + ^}<1
/=1
(16)
неравенства
0 ^ Р { max (Nr - г) < 6} ^ Р {Nn <n + k]
(17)
получаем формулу (10). Наконец, если у=1, то
Р { sup (Nr - г) < 0} = 0
(18)
1 < г < ОО
я*Р{ sup (Nr - г) < &}< Р { sup (Nr - г) <0}. (19)
К Г < ОО
1 < Г < оо
24
Гл. 2. Флуктуации сумм случайных величин
Теорема 4. Если V), v2, vr, ...-взаимно независимые одинаково
распределенные случайные величины, принимающие неотрицательные значения,
и у<1, то
Р{ sup (Nr-r)<k} = Qk, (20)
1 ^ Г < оо
где Qk = 0 для k<0, Q0= 1 - Y и
оо
(21)
k-o
для I 2 | < 1.
Доказательство. Используя формулу полной вероятности и учитывая, что
случайная величина V! может принимать значения 0, 1, 2, получаем для k =
0, 1, 2, ...
Р {Nr<r + k для г = 1, ..., п+ 1} =
k
- 2 луР {Nr < г + k + 1 - / для r = 1, ..., п). (22)
/-0 )
При п-*оо отсюда следует формула
k
Qk ~ 2 я/Qfc+i-/ (23)
/=°
для k = 0, 1, 2 С помощью этой формулы и формулы (7) § 5
можно вычислить рекуррентно вероятности Qb Q2, ..., начиная с Qq =1 - Y-
Если k<0, то очевидно, что Qk = 0. Равенство (21) получается переходом к
производящим функциям, причем соответ-ствущий ряд сходится при | гг J <
1. Так как O^Q0^Q]^ ... . ... ... то lim Qk существует и по
теореме Абеля
&->оо
(см. дополнение)
lim Qk = lim (l-z)Q(z) = -= -^-=1. (24)
k->oo 2->i-o J 71 v) 1 Y
Соответственно, если y< 1, то sup (Nr - r) является собствен-
кк"
ной случайной величиной, которая с вероятностью 1 принимает только
конечные значения.
Равенство Q0 =1 - Y мы получили, используя слабый закон больших чисел, а
из него по теореме Абеля заключили, что 11m Qft == 1. Если применить
сильный закон больших чисел, то
можно непосредственно получить, что lim Q* = 1, откуда по тео-
k*+0p
реме Абеля Q0=l- у.
§ 7. Дискретное обобщение теоремы о разорении
25
Интересно отметить, что если уравнение я (г) = 2 имеет корень z = a при
|г|>1 и не имеет других корней при 1<|2|^а, то
(25>
при k -> оо.
Замечание. Сравнивая равенства (9) и (20), приходим к интересному
тождеству. Если у<1. то
оо
{N, = i + k} = ^-, (26)
/=i
где Qft = 0 при k<0, Q0 = 1 - у, а значения для fe>0 даются формулой
(21).
§ 7. ДИСКРЕТНОЕ ОБОБЩЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ О РАЗОРЕНИИ
Классическая теорема о разорении формулируется так:
Теорема 1. Два игрока А и В разыгрывают между собой последовательность
игр. В каждой игре, независимой от остальных, либо А выигрывает одну
монету у В с вероятностью р, либо В выигрывает у А одну монету с
вероятностью q (0 < р < 1, р + q = 1). Предположим, что в начале игры А
имеет а монет, а В имеет b монет. Игра продолжается до тех пор, пока один
из игроков не разорится. Тогда вероятность того, что разорится именно А,
равна
рА = J [l-(/V<7)b]/[l ~(plq)a+b\ если p?=q, ^
I Ь/(а + Ь), если p - q.
Формула для вероятности Рв того, что разорится В, аналогична.
В 1657 г. Гюйгенс [11] вычислил РДР в в частном случае а = Ь = 12, p/q =
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed