Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 13. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ЦИКЛИЧЕСКИ ПЕРЕСТАВЛЯЕМЫМИ
ПРИРАЩЕНИЯМИ
Мы будем говорить, что случайный процесс {%("), имеет циклически
переставляемые приращения, если для всех п = = 2, 3, ... случайные
величины
циклически переставляемы, т. е. все и (и = 2,3, ...) их циклических
перестановок имеют одинаковое совместное распределение.
Если для всех п = 2,3, ... случайные величины (1) переставляемы или
взаимно независимы и одинаково распределены, то они циклически
переставляемы.
Докажем основную теорему для процессов с циклически переставляемыми
приращениями.
Теорема 1. Если {% (и), 0 ^ и ^ t) - вещественный сепарабельный случайный
процесс с циклически переставляемыми приращениями, причем почти все его
выборочные функции являются неубывающими ступенчатыми функциями,
обращающимися в нуль при и = 0, то
где условная вероятность определена с точностью до эквивалентности.
Доказательство. Доопределим процесс %(и) при 0 < оо,
положив %(и +1) = %{и) + %{t) при и>0. Пусть
Случайные величины 6 (и) одинаково распределены для всех ы^О. Очевидно,
что б (0) есть индикатор события {ос (и) < и для 0 ^ и t).
r= 1, 2, ..., п,
(1)
Р{ос("Х" для 0<и<*|ос(/) = #} = j
(t - y)/t, если 0 < у < t,
0 в остальных случаях,
(2)
1, если %{v) - ос (и) < v - и для v^u, 0 в остальных случаях.
(3)
46
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
Таким образом, равенство
Р{%(ы)<ы для 0<ы</ |%(/)} = Е{б(0)|%(/)} =
о 1о
если о<%(/)</,
= у J Е{б(ы)|%(/)}й?ы = Е |у J 6{u)du\%{t) | =
(4)
0 в остальных случаях
выполняется с вероятностью 1, так как в силу теоремы 5 § 2
• 10 в остальных случаях
для почти всех выборочных функций. Доказательство закончено.
Заметим, что левую часть формулы (2) можно заменить выражением Р {%(и)<и
для 0<ы </|%(/) = #}.
Тогда
Р{%(и)<и для 0<ы</} = е{[1 (6)
где [*]+ означает положительную часть х.
§ 14. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ПЕРЕСТАВЛЯЕМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ И СЛУЧАЙНЫЕ
ПРОЦЕССЫ СО СТАЦИОНАРНЫМИ НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
Случайный процесс {%("), называется процессом
с переставляемыми приращениями, если для всех п = 2, 3, ... и для любого
конечного 0, Т] случайные величины
%(т)~х(-п~)' г=\, 2....п, (1)
переставляемы, т. е. все п\ их перестановок имеют одинаковое совместное
распределение.
Если, в частности, для всех п = 2, 3, ... и для любого конечного /е(0, Г]
случайные величины (1) взаимно независимы и одинаково распределены, то
случайный процесс {%("), называется процессом со стационарными
независимыми приращениями.
Если Р {х (0) = 0} - 1, то в обоих случаях случайный процесс {х(ы)>
0<ы</} имеет циклически переставляемые приращения для любого конечного 0,
Г].
§ t4. Стационарные независимые приращения
47
Везде далее в данной главе мы будем рассматривать вещественные процессы
(х(ы), 0 < 71} либо с переставляемыми, либо
со стационарными независимыми приращениями, причем почти все выборочные
функции этих процессов будут неубывающими ступенчатыми функциями, равными
0 при ы = 0. Интервал изменения параметра будет либо конечным, либо
бесконечным. Тривиальный случай, когда Р{%(ы) = 0}= 1 для ">0,
исключается.
Сначала мы остановимся на некоторых основных свойствах рассматриваемых
процессов {% (и), 0 ^ и <Т}.
Для обоих типов процессов
Е (х (и)} = ри, 0 < и (2)
где р - неотрицательное число (возможно, равное с"). Если р = 0,
то Р(х(ы) = 0}=1 для О^ы^Г, но этот случай мы условились
исключать.
Пусть теперь Т = оо. Если процесс {%(и), 0^н<оо} имеет
переставляемые приращения, то существует такая функция распределения G
(х), что
lim Р < 4 = G (х). (3)
ОО I 1 >
Если, в частности, (х(м). О ^ и < оо} - процесс со стационарными
независимыми приращениями, Е(х(")} = р", то G(x) = 0 при х<р и G (х) = 1
при х ^ р, т. е. в этом случае
lim-^- = p (4)
t-* ОО 1
по вероятности. Это утверждение составляет слабый закон больших чисел.
Докажем теперь следующую важную теорему.
Теорема 1. Если {% (и), 0 ^ ы < оо} - вещественный случайный
сепарабельный процесс со стационарными независимыми приращениями, почти
все выборочные функции которого являются неубывающими ступенчатыми
функциями, равными 0 при и - 0, то
Р{х(ы)<ы для 0<ы<оо} = | 1 Р' еСЛП (5)
I 0, если р^ 1.
Доказательство. По теореме непрерывности для вероятностей
Р {% (и) ^ и Для и<°°}= lim Р (х (и) ^ и для 0 ^ и ^ /}. (6)
t-+OQ
48
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
Для любого конечного t процесс {%(и), O^u^t} имеет циклически
переставляемые приращения, и, следовательно, можно применить теорему 1 §
13. Формула (6) § 13 дает
Р {% (") ^ н Для 0 < и < оо} == lim Е {[ 1 ~ • (7)
С помощью равенства (4) получаем, что lim[1 - %(i)li]+ = [1 - р]+
/ -> ОО
по вероятности. Так как величины [1 - %(t)/t]+ ограничены в совокупности,
то
ДЧ1Е{[1 -J42-n=('-pi+- (")
Теорема доказана.
Теорема 2. Если {% (и), 0 ^ и < оо} - вещественный сепарабельный
случайный процесс с переставляемыми приращениями, почти все выборочные
функции которого являются неубывающими ступенчатыми функциями, равными 0
