Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Такач Л. -> "Комбинаторные методы в теории случайных процессов" -> 11

Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.

Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов — М.: Мир, 1971. — 179 c.
Скачать (прямая ссылка): kombinatorniemetodivteoriisluchprocessov1971.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 91 >> Следующая

5/9. Около 1680 г. Бернулли нашел РДР в в общем случае; его
доказательство приводит де Муавр [7].
Докажем следующее обобщение теоремы 1.
Теорема 2. Пусть vh v2, ..., vr, ...-взаимно независимые одинаково
распределенные случайные величины, принимающие неотрицательные целые
значения. Обозначим через р (г), 1, наи-
меньшее из чисел г, для которых NT = г - i. Если такого числа г не
существует, положим р (г) = оо. Тогда если л0 >0, то при 1 ^ i ^k
(2)
26
Г л. 2. Флуктуации сумм, случайных величин
где Q0?=0 выбирается произвольно, а вероятности Qk, k=\, 2, .. можно
получить с помощью рекуррентной формулы
k
Qft= k = 0, 1, 2, .... (3)
Доказательство. Положим
Q (k, i) = '?{Nr<r + k~i для г = \, р (г)}. (4)
Если я0>0, то вероятности Q(k,i), 1^/^?<оо, положительны. Функцию р(г')
можно представить в виде суммы взаимно независимых одинаково
распределенных случайных величин: р (г) =
= р(1) + [р(2) - р(1)]+ ... + [р(0 - р(г - 1)]. Отсюда легко получить
формулу
Q(M)= II Q(l, 1). (5)
i=k+\-i
Пусть Q(k, 1 ) = Qft_I/Qft для k=\, 2, ..., где Q0 ф О выбирается
произвольно. Тогда Q{k, i) = Qk-t/Qk ПРИ Так как V!
может принимать значения / = О, 1, 2, ..., то
k
Q{k + i, i) =^n,Q{k + i, i + j- 1), (6)
/=0
откуда
k
Qk = 2o n}Qk+i-i (7)
при k = 0, 1, 2, ..., и теорема доказана.
Интересно отметить, что система уравнений (3) полностью совпадает с
системой (23) § 6.
Систему линейных уравнений (3) можно решить в явном виде, используя метод
производящих функций. В самом деле,
<">
*=0
для |г|<6, где 6 -наименьший неотрицательный вещественный корень
уравнения n{z) - z. Если у^Т, то 6=1, а если у>1, то 0<6< 1.
Если число \z\ достаточно мало, то
§ 7. Дискретное обобщение теоремы о разорении
27
откуда
Qi =
Л0
Qft+i - Qo
"v+I i Jtn
V="l u
* t ^2 * * *
1 2 "ft
*1 + *A = V
i. + 2/" + ... +kiu =*k
ix\i2\ . . . ik\
(10)
(11)
для k=\, 2, ....
Замечание. Если 0<у<оо, то Qk, k = 0, 1, 2, ..., можно получить еще и
так. Введем вероятностное распределение
~ло~я1_ ••• _л/)> / = 0> !> 2> •••>
с производящей функцией
. я* (*) = S я)*'= 1~л^)-
(12)
(13)
/="о
у (1 - г) *
Положим P0 = Qo и Pk = Qk~Qk~ 1 При 6=1, 2 Тогда
оо
^ (2) = S P^k = 9 (2) (1 - 2) = Р0 (1 - 2) + Т. (14)
1 - ул* (г)
Из равенства (14) непосредственно следует, что
уяо
Ру = Ро
1 -
Yno
ft+i
v!y
I (l " Yno)
+
iI~b2-tg***
(л;)-(л;)'2-(л;)1
t'i|t2! ¦.. ik\
(15)
(16)
для k = 1, 2, ....
Выведем теперь другие выражения для вероятностей Qk, k = 0, 1, 2, ... .
Теорема 3. Если у ф I, то
(1/6)*
Qk - Qo
1-я' (6)
Sp{^ = / + aj
/=1
(17)
для всех k = 0, ±1, ±2, ..., где б - наименьший неотрицательный
вещественный корень уравнения я (z) = z. Если у<1, то 6=1,
28
Г л. 2. Флуктуации сумм случайных величин
а если у>1. т0 0<в< 1. При k<0 правая часть равенства (17) обращается в
0. '
Доказательство. Для случая у<1 равенство (17) уже доказано в теореме 3 §
6. Там значение Q0 было равно 1 - у. Но так как Q0 служит множителем
пропорциональности, это не ограничивает общности.
Докажем теперь равенство (17) для у>1. Не теряя общности, можно
предположить, что Q0=l- Тогда из формулы (8) следует, что
S QJ-srsfh <18>
fc=-°o
при |z|<6 и Qk = 0 при ?<0. Кроме того,
л (
ДО
k= - ОО '/ = 1 7
при 6<|z|< 1.
Если вычесть 1/(1 - зт'(6))из Qk, k^O, то результирующая
последовательность будет иметь производящую функцию
л
(z)i_______________________________________6_____________________________
____ /9Г(ч
я (z)-z (1-я'(б) ) (6-z) ' сходящуюся при|г|^б. Аналогично, если мы
вычтем 1/[1 - л'(б)]б^
оо
из 2 Р {Л7/ = / + k) для k < 0, то результирующая последователь-/=1
ность будет иметь производящую функцию
л {г) . б______
г - л (z) [1 - л' (б)] (б - г) '
(21)
определенную при 6^|z|<l.
При \г\ = б сумма производящих функций (20) и (21) равна 0 и,
следовательно, сумма соответствующих элементов в двух последовательностях
также равна 0, т. е.
оо
Qk + У р {N, = i + k}=------------- г (22)
/=i
для всех k = 0, ±1, ±2 Это доказывает равенство (17) для
у > 1. Если у<1, то 6=1 и оба ряда для производящих функций (20) и (21)
сходятся при \ z\ = 1. Таким образом, в этом случае равенство(22) также
выполняется, что и доказывает (17) для у<1.
Если k<0, то Qk = 0. Выбирая специальным образом последовательности
случайных величин (vb v2, ..., v,, ...}, можно вывести из этого факта
интересные тождества.
§ 7. Дискретное обобщение теоремы о разорении
29
Теорема 4. Если я0 > 0, то для i ^ 1
оо
Е{ sup (Nr- г)}"^ ( Qfe o?fe~') - 1- (23)
KrCp(f) ("Л '
k= I
Доказательство. Случайная величина sup (Nr - г) мо-
1<г<р(0
жет принимать значения -1, 0, 1, 2, и потому ее математическое ожидание
равно
оо
Е{ sup (Nr - л)} = 2 Р( sup {Nr-r)^j}~ 1. (24)
1<г<р(П /-0 l<r<p(t)
Учитывая формулу (2), получаем требуемое.
В заключение докажем теоремы об асимптотическом поведении Qk при k -> оо.
Теорема 5. Пусть я0>0. Если у<1, то
Qo
lim Qk = "[Д- (25)
k->°o 1
Если у = 1, то
lim-%=-^, -26)
fcH>oo k у2
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed