Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
значения. Если k>0, то
Р{ sup (r-Nr)<k}= 1-6*, (7)
!</¦< оо
где б - наименьший неотрицательный вещественный корень уравнения
я (w) = w. (8)
Если у<1 и Я] = 1, то 6=1, а если у> I или Я] = I, то 6< I.
Доказательство. Для г'^1 определим р(г) как наименьшее из чисел г, для
которых NT - r - i. Если такого числа г не существует, положим р(г') =
°о. функцию р(г) можно представить в виде суммы г взаимно независимых
одинаково распределенных случайных величин: р (г) = р (1) + [р (2) - р
(1)] + ... -Ь [р (г) - р (г - 1)]. Пусть
E{2pf>} = 6(2) (9)
§ 8 Распределение максимума последовательности {г - ,Vr)
33
при \z\< 1. Тогда
E{zp(i)} = [б {z)]1 (10)
при | z | < 1. Если теперь предположить, что N t = /, то р (г) = г + р*
(/), где р* (/) имеет то же распределение, что и р (/), и
последовательность {р* (/)} независима от последовательности {AJ. Таким
образом,
E{z°<;>} = Z''[n(6(z))]\ (11)
где |z|<l. Сравнивая (10) и (11), получаем
б (z) - zn (б (z))
для |z|<l. Если 0<z<l, то уравнение
w = zn(w) (13)
имеет один и только один вещественный корень в интервале 0<ш<1, откуда ay
= 6(z). Если z-> 1, 0<z<l, то 6(z)-*6, где б - наименьший неотрицательный
вещественный корень уравнения w = n(w). Если у^1 и ф 1, то 6=1, аеслиу>1
или Л] = 1, то- 6< I.
По определению p(i) имеем
Р{ max (г - Nr)<k}= 1 - Р{р(&)<"} (14)
для k>0, а в силу теоремы Абеля
lim Р{р(?)^/г}= lim[6(z)]* = 6fe, (15)
П~> оо z~> 1
и доказательство закончено.
Если у>1 или Я] = I, то sup (r - Nr) есть собственная слу-
1<><оо
чайная величина, конечная с вероятностью 1. Если у^1 ия^Н то sup (r - Nr)
бесконечна с вероятностью 1.
1<Г <оо
Случайная величина р(&) при 6=1, 2, играет важную роль
в теории азартных игри Она интерпретируется как продолжительность игры.
Ее распределение дается следующей теоремой.
Теорема 4. Пусть vj, v2, ..., vr ... - переставляемые случайные величины,
принимающие неотрицательные целые значения. Определим р (k) при k ^ I как
наименьшее из чисел г, для которых NT - r - k. Тогда
Р{р(?) = ц} = -|р{Ап = п-/г} (16)
для 1 ^ k ^ п.
Доказательство. Очевидно, что
Р {р (k) п) - 1 - Р { max (г - Nr) < k}. (17)
34
Гл. 2. Флуктуации сумм случайных величин
Подставляя (1) в правую часть этого равенства, получаем окончательный
результат.
Заметим, что формула (3) § 2 является частным случаем формулы (16).
Удивительно, что и в этом более сложном случае сохраняется ее
первоначальная простота.
Теперь предположим, что vb v2, ..., vr, ...-взаимно независимые одинаково
распределенные случайные величины, принимающие неотрицательные целые
значения.
Если у<1 и я, ф 1, то lim Р{р(Л)<я) = 1, т. е. р(?) - собст-
ГС-> ОО
венная случайная величина. Если у>1 или = 1, то Р{р(?) = оо} = = 1 -6*>0.
Если у<1, то математическое ожидание случайной величины p{k) равно
оо
ЕИЧ) = ^ р{^ = ""^Я' (18>
n=k
что следует из формулы (26) § 6. Если у=1 и Jtj =э^= 1, то
Е{р(&)} = °°- Интересно отметить, что из (18) следует
оо
Е{р(*)}=Ц Р{0<л-ЛГ"<*}
П~ 1
для у< 1.
Если |z|<l, то с помощью (16) можно получить
оо
Е {ZP <*>} = [б (z)]k = к^^Р{Ып = п-к},
n = k
и w = 6(z) есть единственный корень уравнения
в области | w |< 1.
Замечание. Если vb v2 vr, ...-взаимно независимые
одинаково распределенные величины, принимающие неотрицательные целые
значения, то, сравнивая (6) и (7), получаем
оо
2yP{tf, = /-*} = 6* (21)
при k>0, где б -наименьший неотрицательный вещественный
корень уравнения n(w) = w.
§ 9. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМУМА ДЛЯ ДВОЙСТВЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
С каждой последовательностью случайных величин vb v2, ... ..., vr, ...,
принимающих неотрицательные целые значения, связывается
последовательность случайных величину,, v*, ..., v*, ...,
(19)
(20) w - zn (w)
§ 10. Примеры
35
также принимающих неотрицательные целые значения, следующим образом:
пусть N0 - b и Nr = \i + ... +vr для r= 1, 2, ... и аналогично Л^ = 0 и
N' - v]+ ... +v* для r= 1, 2 Предположим, что
N*=sup{r: Nr<n и r = 0, 1, 2, ...} (1)
для п= 1, 2 .... Тогда мы будем говорить, что ^^-двойственная
последовательность для {vr}. Обратно, {vr} - двойственная
последовательность для {v*}.
Из очевидного соотношения
[N'n<k)^{Nk>n) (2)
для п + k>0 вытекают тождества {N' - r<k для г = 1, ..., п) =
= {г - Nr ^ k для г = 1, ..., п + k) (3)
и
[r - N*r^k для г = 1, .... "} =
= {Nr - г < k для г = 1- k). (4)
Если известны расйределения максимумов для последовательностей {Nr - г) и
{г - Nr}, то с помощью тождеств (3) и (4) можно найти распределения
максимумов двойственных последовательностей (А/-* - г} и {г - Nr'}, и
обратно.
§ 10. ПРИМЕРЫ
Рассмотрим некоторые специфические последовательности случайных величин
{vb v2, ..., vr, ...} и определим для них все величины, фигурирующие в
условиях общих теорем, доказанных в этой главе.
1. Последовательность Бернулли. Пусть vI; v2, ... ..., vr, ...-взаимно
независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением
P{vr = 0} = <7, P{vr = 2} = р, где p + q - 1 и 0<р<1. Тогда
