Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
где у2 = п" (1 - 0)- Если у > 1, то
' 1 - п' (б) '
lim Qkbk = -П=%7лТ . (27)
где б - наименьший неотрицательный вещественный корень уравнения я (г) =
г, причем 0 < б < 1.
Доказательство. Если Q0>0, то Qt, Q2, ..., Qk, ...-неубывающая
последовательность положительных чисел, откуда следует, что lim Qk
(возможно, равный оо) существует. Если у< 1,
k-> оо
то по теореме Абеля
lim Qk = lim (l - z) Q (z) = --=-r%-, (28)
z->l-о i-я (i - Щ i - Y
что доказывает равенство (25).
Заметим, что если у<1, то значения Qk конечны и Q0 можно выбрать так,
чтобы lim Qft=l. Но если у^1, то lim Qk = оо для
k~> эо k-*oo
всех Q0>0, т. е. невозможно выбрать Q0 так, чтобы limQA = l.
k-> оо
Если v - 1, то по тауберовой теореме Харди - Литлвуда (см. дополнение)
1: Qk- i; /1 49 гл 2Q0 2Q0 /пт
30
Г л. 2. Флуктуации сумм случайных величин
откуда следует формула (26). Этот результат можно получить и из теории
рекуррентных 'событий. Если мы наблюдаем появления рекуррентного события
в моменты t = 1, 2, ..., предполагая при этом, что рекуррентное событие
произошло в начальный момент t= 1, а время возвращения имеет
распределение л', / = 0, 1, 2, определенное равенствами (12), то QJQo
есть среднее число появлений рекуррентного события к моменту времени t =
k. Таким образом, из теории рекуррентных событий следует равенство
,llm -Т = a m ' (30)
& оо К Jl (1 -U)
вполне согласующееся с (29).
При У2 = °° правая часть равенства (26) равна 0. В этом случае для
нахождения асимптотического поведения Qk при 6->оо можно использовать
другую тауберову теорему Харди - Литлвуда (см. дополнение). В
соответствии с этой теоремой, если приг->1 (0<2<1)
(31)
где и L (сх) ~ L (х) при л;-> оо для любого положительного
числа с, то при 6->оо
~ Г (а+ 1) ^
Если у>1, то по теореме Абеля
limQ*6*= lim (1 -z)Q(z6)= (33)
1-0 1 31 W
в предположении, что lim Qk6k существует. Существование этого
k-> сю
предела проверяется непосредственно. Так как ряд для Q(z6) сходится при |
z | ^ 1 и единственной особенностью функции Q (z6) в единичном круге
является простой полюс при 2=1, то
с"
Q (2б) = (1 _я' (б)) (1 -Z) Ckzk'
k-0
где lim ck = 0. Отсюда немедленно следует равенство (27).
k->oo
Замечание. С помощью явной формулы (17) для Qk равенство (27) можно
усилить, а именно
Qo0/6)4 Qo
§ 8. Распределение максимума последовательности {r - Nr} 31
Действительно, по теореме Чжун Кай-лая (см. дополнение)
оо
Пт2Р{Л0=/' + *} = ^гт. (36)
если у>1, и, таким образом, (35) следует из (17).
Если у<1, то по той же теореме Чжун Кай-лая
оо
lim 2 Р {Nt = j + k} = 0, (37)
оо / = 1
откуда в силу (17)
limQft = T^-, (38)
k->oo 1 Y
что согласуется с формулой (25) при у<1.
§8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМУМА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ {r-JVr}
В этом параграфе мы займемся нахождением распределения шах (r - NT) для
конечных п и распределения sup (r - NT).
1<Г<Л 1<Г<оо
Теорема 1. Если Vj, v2, ..., v" - представляемые случайные величины,
принимающие неотрицательные целые значения, то при k>0
П
Р { max (г - Nr)<k} = 1 - У} yP{Nj = j - k}. (1)
f-k 1
Доказательство. Найдем вероятность дополнительного к { шах (г - NT)<k]
события, т. е. вероятность того, что NT^r - k
1<г<п
для некоторого г=1, 2, ..., п. Это событие может произойти в следующих
исключающих друг друга случаях: наименьшее г такое, что Nr = r - k, есть
r = i (j = k, ..., п). Тогда Nj = j - k и NT>r - k для г = 1, ..., /-1,
или, эквивалентно, N} - NT<j - г для г = 1, ..., / - 1. По теореме 1 § 4
Р {A7j - Л7Г</ - г для г = 1.....j-\\N} = j-k) = j (2)
для О^&^у, где условная вероятность определена с точностью до
эквивалентности. Если умножить (2) на Р {А7/ = / - k) и сложить
получившиеся равенства почленно для k^.j^n, найдем вероятность
дополнительного события. Теорема доказана.
Подобным образом доказывается более общая формула
Р{г- NT<k для г = 1, ..., п- 1, п - Nn<k - i} =
П
= P{yV">rt + y-6}-2]jp {Nj = j-k, Nn>n + i-k} (3)
у=1
32
tл. 2. Флуктуации сумм случайных величин
для /г>0, п^ \ и г>0.
Теорема 2. Если vb v2, v" - переставляемые случайные величины,
принимающие неотрицательные целые значения, то
П
Е{ шах (г-лд) = 2у Е {[/-Уу]+}. (4)
0<r<n 1
_ Доказательство. Случайная величина шах (г - Nr) может принимать
значения О, I, п и поэтому
П
Е{ шах (г -Nr)} = 2 Р{ шах (г -Nr)>k). (5)
0<r<ra ,k = l 1 <r<n
Утверждение теоремы следует из равенства (5) с учетом формулы (1).
Заметим, что если vb v2, vr, ...-бесконечная последовательность
переставляемых величин, принимающих неотрицательные целые значения, то,
устремляя п к оо в формуле (1), получаем для /г > О
оо '
Р{ sup (Г-Уг)<?)=1-У ±{N, = j-k)P. (6)
1 <_/• < оо J
Если vb v2, ..., vr, ... - бесконечная последовательность взаимно
независимых одинаково распределенных случайных величин, то, как
показывает следующая теорема, sup (г - Nr) имеет геометри-
1<Г < ОО
ческое распределение.
Теорема 3. Пусть vb v2, ..., vr, ...-взаимно независимые одинаково
распределенные случайные величины, принимающие неотрицательные целые
