Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
[35] Takacs L., The distribution of majority times in a ballot, Z. Wahr.,
2
(1963), 118-121.
[36] Whitworth W. A., Arrangements of m things of one sort and n things
of another sort, under certain conditions of priority, Messenger of Math.
8 (1879), 105-114.
[37] Whitworth W. A., Choice and chance, 4-е изд., Cambridge, 1886.
Глава 2
ФЛУКТУАЦИИ СУММ случайных величин
§ 4. ЦИКЛИЧЕСКИ ПЕРЕСТАВЛЯЕМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайные величины vb v2, v" называются циклически переставляемыми, если
все п циклических перестановок последовательности (vh v2, v") имеют
одинаковое совместное распре-
деление. Примерами циклически переставляемых случайных величин (vb v2,
v") могут служить переставляемые случайные
величины •) и взаимно независимые одинаково распределенные случайные
величины.
Докажем основную теорему о циклически переставляемых случайных величинах.
Теорема 1. Пусть vb v2, ..., v" - циклически переставляемые случайные
величины, принимающие неотрицательные целые значения. Положим Nr = vt +
v2 + .. . + vr для г = 1, 2, ..., п. Тогда
где условная вероятность определена с точностью до эквивалент- % ноети.
Доказательство. Определим vr+n для r= 1, 2, ..., положив vr+" = vr для г
- 1, 2, -- Пусть A/V = v,+ ... + vr для
г - 1, 2, ... и N0 = 0. Положим
Случайные величины 6Г одинаково распределены для всех г = 0, 1, 2, ....
Очевидно, что б0 - индикатор события {NT<r для
') То есть величины, совместное распределение которых не меняется при
любой перестановке. У Феллера (Введение в теорию вероятностей и ее
приложения, т. II, "Мир", 1967, стр. 283) такие величины названы
симметрично зависимыми. - Прим. ред.
Р [Nr<r для г = 1, ..., п |Nn = k) =
(п - k)/n, если 0^.k^n,
0 в противном случае,
(1)
1, если i - Ni>r - NT для i>r, 0 в противном случае.
(2)
§ 5. Независимые одинаково распределенные величины
17
r= 1, 2, п}. Таким образом, с вероятностью 1
п
P{Nr<r для r= 1 п|Лг"} = Е{60|Лг"} = ^-^]е{6г|Лг"} =
Г-1
-4е| (п~"ж есл" и
I " J I 0 в противном случае,
поскольку из формулы (10) § 2 следует, что для почти всех реализаций (vj,
. . ., v")
V4 f n - Nn, если 0<Ar"<n,
r 1 0 в противном случае.
Теорема доказана.
Из формулы (1) вытекает, что
Р {N т<г яля г =1, .. ., п} = Е | [ 1 (5)
где [х}+= х, если х^О, и [лг]+ == 0, если х<^0.
§ 5. ПЕРЕСТАВЛЯЕМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И НЕЗАВИСИМЫЕ ОДИНАКОВО
РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В следующих параграфах этой главы мы будем иметь дело либо с конечным
числом случайных величин v,, v2, v", при-
нимающих неотрицательные целые значения, либо с бесконечной
последовательностью случайных величин, принимающих неотрицательные целые
значения. Мы будем предполагать, что случайные величины vb v2, ..., v"
либо переставляемые, либо взаимно независимые одинаково распределенные.
Аналогично v1( v2,
. . ., vr, ... будут либо переставляемыми '), либо взаимно независимыми
одинаково распределенными случайными величинами.
При этом во всех случаях случайные величины {vr} одинаково распределены.
Введем ряд обозначений, которыми будем пользоваться на протяжении всей
книги. Положим Nr = Vi+ ... +v, для r= 1, 2, ..., Na - 0. Пусть
п, = Р {vr = /}, / = 0,1, 2................ (1)
') Бесконечная последовательность случайных величин называется
переставляемой, если совместное распределение любого конечного набора
этих величин не меняется при любой их перестановке. - Прим. ред.
18
Г л. 2. Флуктуации сумм случайных величин
для распределений vr,
оо
Y = Е {vr} = ^ /я, (2)
1=о
для математических ожиданий vr (возможно, что у=оо),
оо
Y2 = E{vr(vr-l)}=S/0'-l)n/ (3)
/=о
для второго факториального момента vr (у2 также может равняться оо),
оо
Я (2) = Е {zvr) = 2 n,2; (4)
/=0
для производящей функции vr, причем ряд для нее сходится при |z|<n.
Очевидно, что у = я' (1-0) и у2 = я"(1 - 0).
Для произвольной бесконечной последовательности vb v2, ...
..., vr, ... переставляемых случайных величин существует функ-
ция распределения G(x), такая, что
lim Р1 - ^ х [ = G (х). (5)
Л->оо I П }
Если же, в частности, vb v2, . . ., vr взаимно независимы и одинаково
распределены, то G (х) = 1 при х^у и G (х) = 0 при х<у. Иначе говоря, в
этом случае
lim^ = y (6)
Л->оо п
по вероятности. Последнее утверждение составляет слабый закон больших
чисел.
Перейдем теперь к доказательству основной теоремы.
Теорема 1. Если vb v2, ..., \r, ...,- бесконечная последовательность
взаимно независимых одинаково распределенных случайных величин,
принимающих неотрицательные целые значения, то
( 1 - у, если у < 1, Р{ЛГг<г для всех г = 1, 2, ...} = < . ^ .
(7)
10, если у^ 1.
Доказательство. По теореме непрерывности для вероятностей
Р {Nr<r для всех г=1, 2, ...} =
= lim P{Nr<r для всех r= 1, 2..........п). (8)
Л->оо
Для любого конечного п случайные величины vb v2, ..., v" циклически
переставляемы, следовательно, для них справедлива
§ 5. Независимые одинаково распределенные величины
19
формула (5) § 4. Таким образом,
P{Nr<r для г = 1, 2, .. .} = lim Е j[l - j. (9)
