Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
при и = 0, то
1
Рдля0^и<°°}- | (1 - x)dG (х), (9)
о
где функция G (х) определена формулой (3).
Доказательство. Здесь равенство (7) также выполняется. Так как величины
[(/- %(0)/^]+ ограничены в совокупности, то из формулы (3) следует, что
1
Urn Е {[l - -^-]+} = J (1 - х) dG (х), (10)
а это эквивалентно (9).
Если {%(м), 0 ^ и < оо} - вещественный случайный процесс со стационарными
независимыми приращениями, почти все выборочные функции которого являются
неубывающими ступенчатыми функциями, равными 0 при ы = 0, то для всех
и.^0 и Re(s)^0
E{e-"(")}"=e-"(r)w, (11)
где
оо
<D(s)= J (1 -e~sx)dN(x), (12)
+о
N {х), 0< .с < оо, - неубывающая вещественная функция, для которой lim N
{х) = 0 и
Х-> оо
1
j xdN (х)< оо. (13)
+о
§ 14. Стационарные независимые приращения
49
Не ограничивая общности, можно предположить, что N {х) непрерывна справа.
Тогда на интервале (0, t) среднее число скачков, превышающих х, равно t
[W (оо)-N (*)]. Положим k~N (oo) - N (0) = - -N{0) (возможно, А, = оо).
Тогда к = lim <P(s), причем случай
S-> оо
А, = 0 исключается, так как в этом случае Р{%(и) = 0}=1, "^0. Среднее
число скачков на интервале (0, t) равно kt, причем Р (х (/) = 0} = е~м
для / 0.
Если к - конечное положительное число, то
Н(х)= (14)
является функцией распределения неотрицательной случайной
величины, причем
оо
ф(я) = J e~sxdH(x)= 1 (15)
о
для Re(s)^0.
Положим
ОО i
р = J л: dN (х). (16)
+о
Если Re(s)>0, то производная <P'(s) существует и равна
оо
Ф' (s) = J e~sxx dN (х). (17)
+о
При этом р = lim Ф' (s) и, кроме того,
s->+0
Efc(*)} = P* (18)
для всех t^0.
Если р - конечное положительное число, то
л:
J N (у) dy
. 0<х<оо, (19)
| N (у) dy
о
является функцией распределения неотрицательной случайной
величины, причем
ОО
^(S)= fe-,xdH'{x)=*M. (20)
о
50
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
при Re(s)>0. Если и А, и р конечны и положительны, то
^(s) = -U~J{s)1 (21)
при Re(s)>0.
Везде в этой главе через Нп{х) мы будем обозначать п-ю свертку функции Н
(х) с собой; при этом Н0(х)= 1, если х!>0, и Н0(х) = 0, если х<0.
Аналогично через Д*(х) будем обозначать п-ю свертку функции Н" (х),
причем Н*0(х)= 1 для и #^(х) = 0для х<0.
Заметим также, что
Var{x(0} = a2(a (22)
где
оо
а2 = j х2 dN (х) = - Ф" (+ 0). (23)
+о
В заключение докажем три теоремы относительно функции Ф("), определенной
равенством (12).
Теорема 3. Если Re (s) > 0, то
lim (r)^- = 0. (24)
I S |->oo S
Доказательство. Если Re (s) >0, то | 1 - e~sx | ^ | s | x для
x^0 и, кроме того, |1-eijr|^2 для x^0. Тогда в силу (12)
при Re(s)^0
8
\0{s)\<\s\j xdN{x)-2N(e) (25)
о
для любого e>0, а в силу (25)
lim
I S |->oo
<D(s)
^ | x dN (x) (26)
для любого e>0. Из (13) следует, что при е->0 правая часть равенства (26)
стремится к 0, и теорема доказана.
Теорема 4. Пусть s - со - наибольший неотрицательный корень уравнения
Ф(") = 5. (27)
Если р ^ 1, то to = 0, а если р > 1, то to > 0. Уравнение (27) не имеет
других корней в области Re(s)>co.
Доказательство. В интервале [0, оо) функция Ф($) монотонно возрастает, а
Ф' (s) монотонно убывает, причем Ф(0) = 0,
§ 14. Стационарные независимые приращения
51
Ф' ( + 0) = р и lim Ф (s)/s = 0. Если р^1, то s = 0 - единственный
S->oo
корень уравнения Ф(в) = 5 в интервале [0, со). Если р> 1, то уравнение Ф
(s) = s при s е [0, со) имеет точно два корня: s = 0 и s = св, где
0<ш<оо. Это доказывает первую часть теоремы. Для доказательства второй
части заметим, что всегда | Ф' (св) | < 1 и, следовательно, | (r)'(s) |<|
Ф'(ш) К 1 при Re(s)>oi. Поэтому при Re(s)>oi
|Ф(")-Ф(со)| =
5
J Ф' (z) dz
< I s - со I, (28)
откуда следует, что равенство Ф(") = 5 при Re(s)>oi невозможно.
Теорема 5. Если z- вещественное положительное число, то уравнение
Ф (s) = s - z (29)
имеет точно один неотрицательный вещественный корень s = со (z),
причем lim со (z) = со, где со - наибольший неотрицательный веще-
2->+ 0
ственный корень уравнения Ф (s) = s.
Доказательство. Так как Ф(б) монотонно возрастает, а Ф'(5) монотонно
убывает в интервале (0, со) и lim(r)(s)/s = 0,
то уравнение (29) имеет точно один корень s = со (г) в интервале (0, со).
Очевидно, что со (г) - неубывающая функция от z и cb(z)>cb при всех z> 0.
Таким образом, lim со (z) - со* существует и Ф("в*) = "в*.
z->+0
При этом ев* = ев, и доказательство закончено.
Заметим, что если z - комплексное число с Re(z)>0, то уравнение (29)
имеет точно один корень s = cb(z) в области Re(s)^0. В этой главе мы
будем часто использовать интегралы типа
ь
J g(и)Р {и + х <%(и) < и + х + du} (30)
а
и сокращенно обозначать их
ь
J g(и)daР(х(ы)<и + х}. (31)
Если случайная величина х(") имеет плотность, то интеграл (30) приводится
к виду
52
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
Если % {и)-дискретная случайная величина, то интеграл (30) можно записать
в виде
2 g(u)Pfic(")"" + *}¦ (33)
§ 15. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ГРАНИ ЗНАЧЕНИЙ ПРОЦЕССА
{Х(а)-а}
Сначала мы рассмотрим случай, когда {%("), - процесс
