Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
мы должны более внимательно проанализировать вывод соотношений (9.40) в
окрестности точек А = ±со.
Рассмотрим еще раз правую часть формулы (9.41) при А из Г+ вне разреза
К0. Для таких Я имеем Im?(A)>0, так что для А из К щ
!-------=--------!--------------------- (9.47)
k (А + i0) k (А) + 10
и выражение справа имеет мнимую часть -ж'6(?(А)), не учтенную в формуле
(9.43). Таким'образом, это соотношение доопределяется при А= ±о)
следующим формальным выражением:
{ln|ap(A)|, argbp(р)} = - хл5 (А - ц) - ^ б (k (А)). (9.48)
k (ц) (А - ц)
Конечно, второе слагаемое в правой части этой формулы исчезает при
применении к гладким функциям /(А), так как по формуле замены переменных
6 (6 (А)) = ^(6 (А - со) - 6(А + со)) (9.49)
0)
к
I* f (А) б (k (A)) dk = -(k (со) f (to) - k (- to) f (- to)) = 0, (9.50)
tj
Ro)
поскольку k (± to) = 0.
Однако, как мы только что отмечали, нам нужны также и
функции /(А), имеющие при А= ±со сингулярности типа -.
k (А)
Они представляются в следующем виде:
-rlf + kW' (9-51)
k (А)
где /,(А) и /2(А) -гладкие функции. Для таких функций имеем f f (А) б (k
(A)) dK = ^~ (h (со) - Ь (- со)). (9.52)
Действительно, в этот интеграл дает вклад только первое
слагаемое в (9.51). Совершая замену переменной k=k(X),
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
237
имеем
ОО
Г AM. б (k (Я)) dk = Г Ш б (k) dk, (9.53)
J k (a) J
MM",
где f i(k)= и X(k) = ykz + a2. Эта функция разрывна при
Я (k)
k = 0, поскольку Я(±0) = ±со, поэтому
оо
j* Ti (k) б (k) dk=j (7i (+ 0) + 7i (- 0)) = (/i (to) - /у (- CO)).
(9.54)
Итак, формула (9.52) дает строгое определение обобщенной функции б (к(к))
на расширенном пространстве основных функций вида (9.51).
В аналогичной модификации нуждается и исчезающая при кф±ы скобка Пуассона
{1п|ар(Я)|, 1п|у;|}. Отправляясь от формулы (9.35), переписанной в виде
у. (ЯЯ- to2)
{In ар (Я), In уу) = - 1 - , (9 55)
к (Я) kj (Я - Я;)
и вычисляя ее вещественную часть, имеем
лЫ (U, - со2)
{In I ар (к) |, In I у у I) =------------ в (А- (Я)), / = 1, ...,
п. (9.56)
kj (Я - к j)
Остальные скобки Пуассона переменных (9.38) - (9.39) в модификации не
нуждаются.
Таким образом, неисчезающие скобки Пуассона переменных р(Я), ф(Я), Pj, qu
справедливые для всех |Я|^со, имеют вид
{р А), Ф (М-)> = б (Я - р) - -J- б* (k (Я)), (9.57)
Я (и)
' {р(Ь), <7/} = 4"e*(W (9-58)
ki
и
{Ph 4i} = biu j,l=l,...,n. (9.59)
Здесь обобщенная функция б*(?(Я)) дается соотношением
б* (k (Я)) = --~>1 б (k (Я)) (9.60)
Я - р
и на самом деле не зависит от р. Действительно, как это вытекает из
(9.52), на функциях/(Я) вида (9.51) 6*(?(Я)) определя-
238
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
ется следующим образом:
/ (/.) 6* (k (Я)) d). = h И-t A L Е] . (9.61)
^(0
Отметим здесь еще одно отличие от быстроубывающего случая, связанное с
наличием лакуны в непрерывном спектре вспомогательной линейной задачи. В
случае общего положения переменная о (Я) имеет особенность типа In -!-
при Я->-±о); в этом
случае значения ф(±м) фиксированы и равны 0 или л в согласии с формулами
(9.10) и (9.38). Если Я=м или Я=-о или оба эти значения являются
виртуальными уровнями, то переменная р(Я) в этих точках конечна, а ф(1) в
силу инволюции (9.7) принимает значения ±л/2. Кроме того, выполняется
условие (0). Сформулированные условия полностью характеризуют образ
фазового пространства "#р,е при отображении из гл. II.
Таким образом, переменные р (К), ф(Я), pj и qj с описанными ограничениями
можно рассматривать как новые координаты на фазовом пространстве "#Pi0.
Убедимся теперь, что корректные скобки Пуассона (9.57) - (9.59) разрешают
упомянутый выше парадокс, связанный с условием (0). Действительно,
используя формулу (9.44), соотношения (9.57) -(9.59) и определение
(9.61), имеем
{0, Ф(?0}= Ф(Ь)№ = ПГГ-^ = ° (9-62)
J op (u) k (Я) k(Я)
{0'^= f7^{PW'^+-JL = -TL-'fL = 0- (9-63>
J бр (Я) dpj kj kj
Можно привести еще целый ряд кажущихся парадоксов, связанных с
использованием наивных скобок Пуассона (9.40). Все они снимаются после
сделанного нами корректного доопределения этих скобок Пуассона. Один
пример такого типа будет разобран ниже в связи с высшими уравнениями НШ.
Приведем здесь другой пример. Если вычислить скобку Пуассона (ар(Я),
Лр(р)}, используя дисперсионное соотношение (9.11) и наивные скобки
Пуассона (9.40), то ответ не будет согласован с формулой (9.29). Однако
такое согласование получится после использования корректных скобок
Пуассона (9.57) - (9.59).
Итак, окончательную форму скобок Пуассона для переменных р(Я), ф(Я), Pj,
qj дают формулы (9.57) - (9.59). Не выписанные в этих формулах скобки
Пуассона тождественно исчезают.
Явный вид окончательных скобок Пуассона не позволяет назвать величины
р(Я), ф(Я), рjt q, переменными типа действие -
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
239
угол в буквальном смысле. Так, например, переменная дискретного спектра
р, (обобщенный угол) не находится в инволюции с переменной непрерывного
