Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
г" (X, М-) "= Нш (Ер1 (у, X) igiEp1 (у, p.)) г (X-р)(?р (у, X) (r) Ер(у,
р)) =
У > со
= lim (Ер1 (у, X) Ер (у, р) (r) ЕГр (у, р) ?р (у, Х))г(Х- р) (9.21)
у-^-оо
т+ (X, р) = lim (Ер1 (у, X) 0 Ер1 (у, р)) (Q (0) (r) Q (0)) х
ОО
х г (X - р) (Q1 (0) <0 СГ1 (0)) (Ер (у, X) (r) Ер (у, р)) =
= lim (Ер1 (у, X) Ер (у, р) (r) Ер1 (у, р) Ер (у, X)) г(Х - р).
(9.22)
у~>+ ОО
В последних формулах участвуют пределы выражений типа
ехр {+ i (k (Я) k (р)) у) Л Л
- - -- " ' при у->-±оо, понимаемые в смысле обоб-
Я - р
щенных функций. При X из Rq функция k(X) монотонно возрастает, поэтому,
используя (6.5), имеем
e±i(k(>.-k(\i )у е±ГА(Х)-*(Р )У
lim v.p.------------------= lim v.p.-----------------x
Я P у->+00 k (Я) k (p)
Я - p k(X) - k(\i) Я - p
in' б ф (X) - ?(р))=±з"'6(Я-u). (9.23) dX
-Цк(Т)+к(р.)'у
X - p
e±lk(h)y
lim v.p.-;-------------
j/-> оо Л - J-l
Остальные пределы lim v.p.-
у->эо
e±ik,p.)y
lim v.p. исчезают. Подчеркнем, что X и \i из !R0), так что
У^ОО X |-1
|Я|,|р| >0).
В результате для матриц г±(Х, р) получаем окончательное выражение
I а (Я, р) " 1
v.p.-;------------ 0 0 0
(X, р) = -к
Я -р о
о
О
В (Я, р) v.p. -Нгиб(Я-р)
Я - р
4-л1'б(Я -р) v.p.
О
В (Я, р)
Я -р
о
v.p.
О
О
а (Я, р)
Я - р
где
/9 \ 1 , Яр - О)2
а (Я, р) =--------------------------------------
г 2 2k (Я) k (р)
1
Яр - о2
2k (Я) k (р)
так что
а(Х, р) + р(Я, р) = 1.
(9.24) , (9.25)
(9.26)
234 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Для приведенной матрицы монодромии Тр(к) имеем { Гр (к) (r) ТР (р)} = г+
(к, р) Гр (Я) (r) ГР (р) - Гр (Я) (r) Гр (р) г, (к, р).
(9.27)
Приведем теперь выражения для скобок Пуассона коэффициентов перехода и
дискретного спектра, которые следуют из соотношений (9.18) - (9.21) и
(9.24) - (9.27). Начнем с непрерывного спектра. Имеем
(ap(?i), ap(p)} = {ap(?i), ap(p)}=0, (9.28)
{ар (к), Ьр (р)> = ь op М bP (р), (9.29)
к (к) к (р) (к - р + (0)
{ар (к), Ьр (р)> = - -(/.) Ьр (р) (9.30)
к (к) к (р) (к - р + i0)
{ЬДк), Мр)} = 0, (9.31)
{ЬР (к), Ьр (р)} = 2ш'и I ар (к) I2 б (к - р), (9.32)
где к и р из Кщ. При этом формулы (9.28) - (9.30) допускают аналитическое
продолжение по к на лист Г+ вне точек ветвления.
Для характеристик дискретного спектра имеем
{Ьр (к), М = {Ьр (к), к,} = 0, (9.33)
{bP(k),Vi}={bp(k),yi} = 0, (9.34)
х(кк,- О)2)
К (*•), Y/} = ... ..-г- ар (к) у, (9.35)
к (к) к; (к - Kj)
{к" к,}={Ъ, ^г}=0, (9.36)
(ъ-, М= ибль /, I- 1, • • •, П. (9.37)
Из приведенных формул получаем, что для к из Кщ набор
переменных
9{к) = -^- 1п(1 + \Ьр(к)\2), y(k) = - argbp(k), (9.38)
2лх
Pf =----- к/, qf = In /б/Y/, j=\п, (9.39)
является каноническим, т. е. их неисчезающие скобки Пуассона имеют вид
(р(Х), ф(р)} = 6(А,-р), {р" <7(} = 6", /, l=\,...,n. (9.40)
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
235
Переменные р(Л.), ф(л) и q, имеют ту же область значений 0^р(?0 <°о,
0^7ф(Я) <2л и -оо<^;<оо, что и в быстроубывающем случае. Однако для
переменной р, эта область значений становится ограниченной -о)/и<р;<о)/и.
Для вывода формул (9.40) можно воспользоваться рассуждениями из § 7.
Альтернативный способ основан на соотношении (9.29). Запишем его в виде
{In ар (X), In bp (u)} = -- * (X'U ~ (°2)---- (9.41)
k (X) k (р) (Я - р + ?0)
и рассмотрим мнимую часть этого равенства. Из условия нормировки (9.3) и
(9.28) следует, что
{argOp(A), In | ?>р(р) |>=0, (9.42)
так что мнимая часть слева в (9.41) дается скобкой Пуассона {In |ар(Я)|,
argbp(p)). Мнимая часть справа тривиально вычисляется по формуле (6.19).
В результате получаем соотношение
{In | ар(Х) |, arg 6р(р))= -яи6(Я-р), (9.43)
которое эквивалентно первой формуле в (9.40).
Подчеркнем, что формулы (9.40) были получены нами только для X и р, не
совпадающих с краями непрерывного спектра ±о). Поэтому они нуждаются в
доопределении. Следующее рассуждение показывает, что это доопределение
нетривиально. Условие (0) в новых переменных переписывается в виде
2'л i р ^ dX -{- 2 V arccos -- = 0 (mod 2я), (9.44)
J k (Я) О)
Pto ^ *
и скобка Пуассона левой части этого равенства со всеми наблюдаемыми
должна исчезать. Действительно, фаза 0 не является динамической
переменной, а играет роль номера фазового пространства Жр,е. С другой
стороны, буквально используя формулы
(9.40), получаем, что скобки Пуассона
{0, Ф (Я)} = {Э, q,} = -^~ (9.45)
k (к) kj
не исчезают тождественно. Корректное доопределение скобок Пуассона (9.40)
должно разрешить этот "парадокс".
Для этого заметим, что соотношения (9.40) понимаются в смысле обобщенных
функций. Так, например, первая формула в
(9.40) приводит к соотношению
f(X)p(X)dX, ф(р)[ = /(р), (9.46)
К
236 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
которое, конечно, справедливо, если /(А)-гладкая функция на К", включая и
точки А=±со. Однако формула (9.44), а также и выражения для локальных
интегралов движения /2гр, приведенные ниже, показывают, что нам
встречаются и функции /(А),
имеющие при А = ±<о особенности типа -J- .Таким образом,
k (А)
