Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
исследования динамики солитонов. Так, например, при выходе нуля Xj на
вещественную ось его вклад в интегралы движения исчезает.
На этом закончим исследование канонического преобразования .
В заключение этого параграфа покажем, как иерархия пуассоновых структур,
введенная в § 5, выглядит в новых координатах. Оказывается, что действие
оператора Л сводится к умножению на переменную X. Более точно, для /-й
структуры {,}, неисчезающие скобки Пуассона в комплексных координатах на
Шп имеют вид
{Фа), Ф(р)}г=>.гба-р), (7.64)
{In yhXk}i = xXlk6;k, j, k= 1,. . ,,n. (7.65)
В частности, при 0 пуассонова структура {,}, определена
на всей алгебре функционалов вида (7.48). Упомянутый в §5
^Ф(П I , п аннулятор порождается величинами вида т > "=0, .
. .
dX l^o
.. ., I-1. При /<0 на допустимые функционалы накладываются дополнительные
условия: их вариационные производные по
Фа) и Ф(?0 должны исчезать при ^ = 0 вместе с производными по X вплоть до
порядка |/|--1. Тождество Якоби для пуассоновых структур {,}г тривиально
следует из формул (7.64)--(7.65).
В справедливости этих формул проще всего убедиться на уравнениях
движения. Действительно, (/+1)-е уравнение НШ с гамильтонианом /1+1 можно
переписать в виде
^ = {/1,Фа)}/, (7.66)
at
(7.67)
224
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
являющемся характеристическим для l-й пуассоновой структуры (см.§ 5).
Конечно, это рассуждение не является строгим. Существует и строгий вывод,
основанный на пересчете пуассоновых структур при отображении который,
однако, мы здесь не приводим.
§ 8. Динамика солитонов с гамильтоновой точки зрения
Здесь мы рассмотрим с гамильтоновой точки зрения солитонные решения
модели НШ в быстроубывающем случае. Как мы убедились в § 7, фазовым
пространством для системы п солитонов является конечномерное
подпространство Г" в :(r)1", выделяемое условием Ь(Х)=0 при всех X. Оно
параметризуется каноническими координатами -оо<ph ^<оо, 0<pj<°°, 0^ф^<2я,
/ = = 1, .. ., п, или комплексными координатами X,, Хр, у,, у,,. Im а5>
>0, Xj-фХь и YrT^O, связанными друг с другом соотношениями
Ь/ = y (Pi + Ф/)> Т/ = /= I..... л (8.1)
(сравни с формулами (7.13)).
Ограничение потоков, порожденных высшими уравнениями НШ, индуцирует на
фазовом пространстве Г" вполне интегрируемые гамильтоновы системы,
описывающие динамику солитонов. Набор из 2п инволютивных интегралов
движения составляют переменные р;- и Pj-переменные типа действие;
движение вдоль сопряженных им переменных типа углов ф; и q} линейно.
Гамильтонианы--локальные интегралы движения h модели НШ-выражаются через
переменные типа действие следующим образом:
//= -Vi; $-*/), /=1,2,... (8.2)
ixl
/=1
В частности, число частиц N, импульс Р и энергия Н имеют вид
w = S'p/, ^
/=1
р= - -у 2Р!Р;>
1=1 у 2 П (
н= - S (р/я-/=1
Эти выражения представляют собой суммы по независимым модам. Каждая мода
описывается координатами р, q, р, ф, и отдельной моде в фазовом
пространстве Г, соответствует частице-
1 з\
Тр' ¦
(8.4)
(8.5)
§ 8. ДИНАМИКА СОЛИТОНСЖ
225
подобное решение г|л(л:, t) уравнения НШ -солитон
, (8-6)
(8.7)
(см. § 11.5). Его импульс Р и энергия Е
(8.8)
связаны законом дисперсии
1 -л
Е= -- Р'г - р3.
р 12
(8.9)
Последнее соотношение типично для классической нереляти-вистскон механики
и позволяет интерпретировать солитон как частицу с массой т - р/2.
Величина х0 канонически сопряжена с импульсом Р и играет роль координаты
центра инерции частицы. Эта интерпретация согласована с положением
максимума
|гр(дг, t) |2 в точке x = x0 + vt, где скорость v= -= -Р дается
обычной нерелятивистской формулой.
Координаты р и ф описывают внутренние степени свободы и определяют
осциллирующее поведение функции ф(д;, t). Их вклад
терпретировано как внутренняя энергия (энергия покоя) частицы.
Фазовое пространство Г" описывает взаимодействующую систему п солитонов.
Действительно, общее /г-солитонное решение, описанное в § II.5, не
представляет собой суперпозицию односо-литонных решений. Оно распадается
на сумму отдельных солитонов лишь асимптотически при |7|->-оо, когда
взаимодействующие солитоны достаточно далеко расходятся друг от друга.
Более точно /г-солитонное решение с параметрами {р}, <7,-, р,-, ф3, / = =
1, .. . , п} при t-*- ± оо представляется в виде суммы односоли-тонных
решений с параметрами , q^, pj±\ ф/*', где
т
в энергию дается выражением -
12
р3, которое может быть ин-
(8.10)
(8.11)
226
ГЛ. Ш. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
д? /= 2 1п
k=f ri /-1
Дф/=2 arg
я. - хь /-1 Х; - ХЬ
! к -2 ln k-i ] "k
_ ^k А/ - Xk
v
2 arg
Kj - xk
у _
k=l fe=/+l w/
При этом предполагается, что pt>p2>¦ ¦ .>/?".
Преобразования W±
W± : {р/, <7/, р,-, ср/, j = 1,.. ., /г} {р'/0, ^•±), р'/±),
ф'/0, / = 1,. . ., /г},
(8.14)
описанные формулами (8.10) - (8.13), являются каноническими, т. е.
сохраняют скобки Пуассона. Поскольку сдвиги Дqs и Aqy зависят только от
переменных типа действие (обобщенных импульсов), то нам следует убедиться
