Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Pi - jy-1 m I,-, ф/ = - arg yf
неисчезающие скобки Пуассона имеют вид
{Рл Qh} {Р;, Фа} /> k 1, . •., /2. (/.14)
Переменные и меняются на всей вещественной оси, а р3>0 (напомним, что
х<0) и 0^ф3-<2л.
Подведем итог. Полную систему данных обратной задачи составляют
вещественнозначные функции р(А), ф(А) (или комплекснозначные функции
Ф(А), Ф(Я) ) и набор вещественных переменных дискретного спектра pjy qt\
ph ф3, / = 1, ... , п, образующие канонически сопряженные пары.
Производящая функция интегралов движения зависит лишь от инволютивного
набора переменных р(А), у, и р3. Поэтому, по аналогии с гамильтоновой
механикой с конечным числом степеней свободы, их естественно называть
переменными типа действие. В частности, гамильтониан нашей модели зависит
только от них. Сопряженные переменные ф(А), qj и (fj являются переменными
типа углов. Конечно, следует помнить, что переменная в отличие от ф(А) и
срл меняется на всей вещественной оси, а не от 0 до 2я. Преобразование к
данным обратной задачи Э~\ (ф(я), ф(л:))^(р(А), ф(А); pjt qh рл фл / = 1,
..., п), так подробно исследованное в главах I-II, является обратимым
каноническим преобразованием.
Эти результаты и представляют собой основное утверждение по поводу модели
НШ, доказывая ее полную интегрируемость.
В заключение формальной части этого параграфа приведем еще несколько
полезных формул. Во-первых, из обратимости преобразования следует, что
симплектическая форма Q в новых
§ 7. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ
215
переменных имеет канонический вид
оо п
й = 5 dP ('¦) A d(f ('¦)d}- + 2 (dpi Л d(li + dPi A d(f/)- (7- 15)
Далее, приведем выражения для локальных интегралов движения /" через
переменные р(?.)> Pi и р;. Для этого перепишем тождества следов из § 1.7
в новых обозначениях:
h = f Lk~]9 (A) dl + Ljl (y) S К?' - 'Р/)* - (Pi + Ф/)*)-
До f X /=1
(7.16)
В частности, для заряда N, импульса Р и гамильтониана И имеем
= J p{K)dh +2 Р;, (7.17)
-ОО /=1
Р ^ | 7p(7)dA - PiPb (7Л8>
До "
Н - j42p(A)dA + ^-2 (Р/^/----5" р/) • (7Л9>
-ОС
Переход к новым переменным полностью тривиализует динамику модели НШ и
воспроизводит ответы из § 1.7. Действительно, из (7.7), (7.14) и (7.19)
имеем
-*-(М) = ^ = ^ = 0 (7.20)
й/ d/ d/
И
^(М)=ЧЯ,ф}=Г', (7.21)
dt
^ = {H,q,}=:-?-pjph (7.22)
f (р}-р)). (7.23)
d^ 4
что эквивалентно уже известным формулам (1.7.11
-a\t
b(b,Q = <rlMb(K0), y,(0 = e yY/ (0), (7.24)
Ь/(0=М0), У = 1 п.
216 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Конечно, все высшие уравнения НШ также являются вполне интегрируемыми, и
динамика общего уравнения
-g-= {/,!,}, -|L = {/,*}, (7.25)
dt dt
где
/=2"*7* <7-26)
k
и коэффициенты ah вещественны, дается формулами
Ь(кН) = е-"МЬ(К0), у,у) = ё-"^*у,(0), (7.27)
М0=М°). / = 1,
а
ni)=^akkk-\ (7.28)
k
Приведенные выше рассуждения были проведены на формальном уровне, в
частности, мы не обсуждали вопрос о допустимости величин а(Х), b(X), Xj
и ^ как функционалов на фазовом пространстве Жй- Теперь мы
сделаем необходимые уточне-
ния и начнем с данных непрерывного спектра.
Рассмотрим для этого поведение вариационных производных а(Х) и Ь(Х) по
ф(*), ф(я) при | х | -voo. Соответствующие формулы приведены в § 2
- равенства (2.6) - (2.7). Переходя в них к
пределу при L-*-оо и вспоминая определение (6.1) приведенной
матрицы монодромии, получаем
= т/*7? (х,Х) а Т (х,Х), (7.29)
бф (.V)
И
?^ = У*Т?(х,Х)а+Т_(х,Х). (7.30)
бф (лг)
Отсюда имеем, используя обозначения из § 6 и свойство инволюции (1.5.19):
^ = -Y*fAx,Vf-M, (7.31)
бф (т)
= V*g+ (*> '•) S- (*> '•) (7-32)
6ф (дг)3
и
= (7.33)
бф (JT)
^=_в/"МдгД)?_(*Д). (7.34)
бф(т)]
§ 7. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ 217
При этом формулы (7.31) - (7.32) допускают аналитическое продолжение в
верхнюю полуплоскость переменной X.
Таким образом, вариационные производные функционалов а(Х) и Ь(Х) по Ф(а),
Ф(а) являются гладкими функциями х. Рассмотрим их поведение при |л:|->-
оо. Начнем с функционала а(Х) при вещественных X. Мы имеем следующие
асимптотики (см. *1.5):
еГх/ф_(х,Х) - 1 4- о(1), (7.35)
e0x/-g_(x,X) = о(1), (7.36)
e!lx/'f+(x,X) = ¦- еЬ(Х) + о (1), (7.37)
е-'^+(А,Я) = а(Я) + о(1) (7-38)
ИрИ А'-" ОО И
er°-x/if+ (х,Х) = о (1), (7.39)
eri^/-g+ (х ,Х) = 1 + о (1), (7.40)
eilx/-f_(x,X) = a(X) + о( 1), . (7.41)
e-o.xhg_ (лг д) = ъ у) + 0 (j) (7.42)
при a-v-roo, где предельные значения принимаются в смысле Шварца. Отсюда
следует, что
==&Y^ie-iU (b(X) + о(1)), (I) (7.43)
(x) бф (r)
при A-> -ОО И
6^=o(l)t 5a^l=v-er,x{HK) + 0{[)) (7>44)
S1!5 M 6ф (т)
при a->- + oo. Поэтому при вещественных X функционал а(Х) недопустим.
Однако при 1тЯ>0 функционал а(Х) уже является допустимым. Действительно,
как мы доказали в § 11,2 (см. формулы (II.2.99) - (II.2.100)), при таких
X асимптотики (7.35) - (7.36) и (7.38) - (7.41) остаются в силе, а
формулы (7.37) и (7.42) заменяются на
er'lx/-f+ (а, /.) = о (1) при а -э-оо (7.45)
и
eilx'-g_ (х,Х) - о (1) при a-v + oo. (7.46)
Поэтому для 1тЯ>0 правые части в (7.31) - (7.32) быстро убы-, , (Я)
