Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 78

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 180 >> Следующая

спектра p(?i) (обобщенное действие). Кроме того, скобка Пуассона (9.57)
между р(^) и ф(р) не имеет явно канонического вида. Эти обстоятельства
отличают рассматриваемый нами случай от быстроубывающего.
Однако пуассонова структура, задаваемая скобками Пуассона (9.57) -
(9.59), хорошо приспособлена к динамике, порождаемой локальными
интегралами движения модели НШ, и практически не менее удобна, чем явные
переменные типа действие - угол в быстроубывающем случае. Так, мы скоро
убедимся, что все высшие уравнения НШ явно интегрируются в новых
переменных рМ, ф(?0, Pi, qj-
Однако полное описание алгебры наблюдаемых на фазовом пространстве "#р,е
в этих координатах гораздо сложнее, чем то, которое было дано в § 7 для
быстроубывающего случая. Мы не будем здесь заниматься этой громоздкой и
нетривиальной задачей. Скажем только, что условия, накладываемые на
допустимые функционалы F, должны гарантировать, что порожденные ими по
скобкам Пуассона (9.57) - (9.59) гамильтоновы уравнения движения для
переменных р(?0, фМ, Pi, qj не выводят из описанного выше класса.
Перейдем теперь к рассмотрению гамильтоновых потоков, порождаемых
локальными интегралами движения Jlfi. Эти функционалы были введены в §
1.10. Приведенные там формулы - тождества следов - позволяют явно
выразить /, р через переменные p(?i) и Pj. Имеем
Г ( 1\(/+1)/2 п " ,,,,
JLp= ^k^(k)p(X)dl + (-^------------2 (°)2 - к*рЬ <9б4>
для нечетных /^1 и
=9 \ гтп 2 (1/2) (V Р М dK -
п р //:-1
-¦Т2 лг 2 ' S (- 1)'-"-0)- ) (О)2 - х'р/)"3-"* (9.65)
1 /=1 У"!- *2Р/ т=о \ т J
для четных I.
Мы показали в § 4, что интегралы движения /, р являются при l> 1
допустимыми функционалами на фазовом пространстве Л(Р,% и находятся в
инволюции. Они порождают высшие уравнения НШ для случая конечной
плотности:
^L - ti. ,ь\ f г Xi ' /О кш
240 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Убедимся, что в новых переменных р(Я), ф(Я), р^ q, эти уравнения явно
решаются.
Рассмотрим сначала нечетные />1. В этом случае вариационная производная
= (9-67)
бр (Я)
регулярна при Я=±<а, так что скобки Пуассона (9.57) - (9.59) сводятся к
наивным выражениям (9.40). Уравнения (9.66) в новых переменных
приобретают вид
^ = {Ji.p, Р (Я)} = 0, = {Др, р,} = 0, (9.68)
dt at
дц> {к) = {J,'P, ф (Я)} = (Я), (9.69)
dt
-~Г= {Др. Qi) ~ - ikik'f 2> j=\,...,n, (9.70)
at
и явно решаются. Для их решения получаем формулы, которые удобно записать
в терминах коэффициентов перехода:
ар (Я, t) = яр (Я, 0), Ьр (Я, t) - (Я, 0),
У/ Ф = * у j (0), / = 1,.. ., п.
В частности, при 1 = 3 получаем знакомые формулы (1.10.7) для уравнения
НШ.
В случае 1=1 подынтегральная функция в (9.64) имеет при Я->-±оо
сингулярность вида , и на первый взгляд мы должны использовать скобки
Пуассона (9.57) - (9.59). Однако коэффициент при -- -функция fi (Я) = Я -
нечетен и не дает k (Я)
вклада в (9.61). Таким образом, мы имеем соотношение
{J 1,р. Ф (?>)} - тут- . (9.72)
k (а)
и уравнение движения
ML-= {/!,. ф (Я)} ' (9.73)
dt
имеет формальное решение
ф (Я, /) = ф (Я, 0)+ -?-*. (9.74)
k (/.)
Это решение, однако, сингулярно при Я->-±<а для любого />0 и выводит нас
из класса допустимых ф(Я). Действительно, в случае виртуального уровня
переменная ф(Я) регулярна при Я =
§ 9, КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
241
= ±(о, а в случае общего положения принимает в этих точках значения 0, л.
Таким образом, мы еще раз убедились, что функционал Л,р= =/V- аналог
заряда в быстроубывающем случае (см. § 1.1) - является недопустимым
функционалом на фазовом пространстве
Рассмотрим теперь четные I. Имеем из (9.65)
i( 1/2
S-'/.p __ М i 1/2
6р (Я) k (Я)
где
/,2-1
gi( Я), (9.75)
gi (*) = 2 ( тт ) со(tm)#"3"-1 (Я). (9.76)
Поэтому при написании уравнений движения нам следует использовать скобки
Пуассона (9.57) - (9.59). Имеем
{//.р, <р(Я)}=г"(Я) (9.77)
и аналогично
{/".р, =-&.(**), /=1(9.78)
Поэтому в случае четных / динамика высших уравнений НШ задается формулами
а, (Я, t) = ар (Я, 0), &р (Я, /) = e~igl(%)tЬр (Я, 0),
У/ (0 = 6~'gl '/'ivyj (0), / = 1....
(9.79)
п.
В частности, при 1=2 функционал /2,Р совпадает с импульсом Р (см. §
1.10). Функция g2(Я) имеет вид
gt(K)=k{K). (9.80)
Это выражение согласовано с интерпретацией импульса как генератора сдвига
по пространственной переменной х.
Отметим, что если бы в случае четных / при выводе уравнения движения для
ф(Я) мы использовали наивные скобки Пуассона (9.40), то получили бы
выражение, сингулярное при Я->-±<о. Это означало бы, что функционалы /г>р
являются недопустимыми. Одиако мы знаем, что эта не так, и именно
использование корректных скобок Пуассона (9.57) - (9.59) снимает
возможное противоречие.
Так же как и в быстроубывающем случае, формулы (9.64) - (9.65) для
интегралов движения интерпретируются в терминах независимых мод,
нумеруемых непрерывной переменной Я из 1RM и дискретной переменной /.
Однако следует помнить, что переменные р(Я) и р,, описывающие аддитивный
вклад этих мод
242 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed