Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
лишь в справедливости соотношений
(8.15)
-Я,
(8.12)
(8.13)
которые выглядят как условия интегрируемости дД<7;. дА qk дДфд, дДф;-
(8.16)
dpk dpj dpj dpk
и проверяются непосредственно. Из последних формул следует существование
функции Kn(Pi, ¦ ¦ ¦, Рп, Pi, . • •, рп) такой, что
дК" дКп
АУ; = --> Дф/ = -- , / = 1,. . ., /г. (8.17)
др,- dpj
Функции ±Кп являются производящими функциями канонических преобразований
W± в смысле гамильтоновой механики.
Отметим, что преобразования W± являются весьма частным случаем
канонических преобразований; их производящая функция ±Кп зависит лишь от
обобщенных импульсов, так что последние не изменяются.
Описанная картина позволяет интерпретировать взаимодействие солитонов в
терминах соответствующих им частиц. При t- ± оо (до и после рассеяния)
эти частицы являются свободными. Они имеют импульсы
X
p(.o = p(-, = P/f Pf = _JL.pfPh
(8.18)
"внутренние импульсы" р)
(+)
инерции x)-'(t) и фазы ф/*1 (t) линейно зависят от времени: 2 P,t
ф'Л
= Pj, а их координаты центров
Xi
<±)
(0 =
+
Ф/+) (0 = Ф/+) + ( -f- - Y Р/ ] (8.1у)
§ 8. ДИНАМИКА СОЛИТОНОВ
227
где
= -чТ\ / = 1.................л- (8.20)
хр j
Параметрами асимптотического движения являются Р3, pjt "r0(f'"
Ф/*1. Они отличаются от переменных р3, р3, 9/*', ф/*' тривиальным
каноническим преобразованием М типа преобразования масштаба, задаваемого
формулами (8.18), (8.20). Преобразование рассеяния S
S: {Ph р/, xj, Ф/"', / = 1,..., п} ¦-+ {Р,, р,-, х'оУ, / = 1,..., п}
(8.21)
является каноническим и представляется в виде суперпозиции уже введенных
преобразований:
S = MW+WZ1M~1. (8.22)
Оно задается производящей функцией
^л (^1* ••• I ^п, Рп . . . , Рп) - 2/(я f - ,... I I Рп . . . , Рл
V ¦''•Pi *Рп
(8.23)
следующим образом:
+ <р';'= чР + , /-1......". (8.24)
dPj др.
Вычислим явно эту производящую функцию. Удобнее иметь дело с функцией
Кп(Ри ..., р*\ Pi, • ¦ ¦ , рп) и уравнениями (8.17). Из явного вида Aq} и
Дф;--формул (8.12)-(8.13)-следует, что функция Кп представляется в виде
суммы двухчастичных слагаемых:
KniPi,.. .,pn;pi,.. -,Рл)= 2 KAPi>Pk,Pi,Pk). (8.25)
l</<fcs?n
Функция К2 находится из системы уравнений
Жг _ дК2 _ 1 jn (Pi - Ра)2 + (Pi + Ра)а (g 20)
dPi др.2 2 (рх - р2)2 + (Pi - р2)2
Лк = arctg - arctg , (8.27)
Ф1 Pi - Рг Pi Рг
d^2 --¦ arctg Pl P2 -arctg Pl ¦ (8.28)
dp2 Px - p2 Pi p2
Эта система тривиально интегрируется и функция Кг имеет вид ^2 (Pl, Рг>
Pl. Ра) = Re {{Pi - р2 + ipi + /р2) In (рг - р2 + tpj + гр2) - - (Pi ~Рг
+ Ф1 - Фг)ln (Pi - Рг + Ф1 ~ Фг)} =
= - - Re {(^ - Я") In (V - Ъ2) - -12) In (^ - /Ц)}. (8.29)
И
228
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Возвращаясь к преобразованию рассеяния S, мы видим, что его производящая
функция Sn(Pu ..., Рп; ри...,рп) представляется в виде суммы по всем
парам частиц:
5я (^i, • • • I Рп\ Pi> • • • I Рп) = 2 *^2 iPit Pkt P/t pk)t (8.30)
где S2 связана с Кг no формуле (8.23). Таким образом, процесс рассеяния
солитонов сводится к последовательности канонических преобразований. В
каждом из них участвует только пара солитонов, у которых изменяются лишь
координаты и фазы. Такая картина типична для факторизованного рассеяния.
Производящая функция S2 может быть названа "классической S-матрицей" для
двухчастичного рассеяния.
На этом мы закончим обсуждение рассеяния солитонов с гамильтоновой точки
зрения.
На первый взгляд рассмотренная картина динамики солитонов представляет
собой весьма частный случай движения в модели НШ. Однако мы сейчас
приведем соображение о том, что с помощью солитонов можно приблизить
общее решение нашей модели. При этом число солитонов п должно
неограниченно увеличиваться, а соответствующие им нули Xj должны выходить
на вещественную ось и "сгущаться" там.
Именно, для определенности предположим, что все щ имеют в качестве
области сгущения интервал М1^р,^М2, на котором они распределены
равномерно с некоторой плотностью р(р). Это означает, что
Ч = р/- р(р/) + о(^) ¦ ("-31)
где р(р) ¦-гладкая неотрицательная функция, исчезающая вне интервала (Ми
М2), а
Др; = р/+1 - р, = + О (--'j , (8.32)
например, р,= -~~-1 (М2-AU) +Mlt /= 1, ..., п. п
Подставим теперь такие Xj в формулу (8.2) для локальных интегралов
движения. Имеем при оо
/=1
я А*.
= X рГр (Р/) Др/ + 0 (т) = J Р/_1Р (p) dP + 0 (~) (8 33)
/=1 Mi
§ 8. ДИНАМИКА СОЛ И ГОНОВ
229
Б силу произвольности интервала (Мь М2) и функции р(р) из
(8.33) мы можем получить формулу
- знакомое выражение для локальных интегралов движения на компоненте 5ГО0
(см. § 7).
Итак, мы показали, что "сгущением" солитонов можно получить фазовое
пространство данных непрерывного спектра (по крайней мере на уровне
интегралов движения). Разумеется, оставляя тизл нулей Хь .. - , Х" "на
месте" и сгущая остальные, мы можем также получить выражения для
локальных интегралов движения Л и на компоненте 9йт.
Это рассуждение подчеркивает общий характер динамики солитонов для нашей
модели в быстроубывающем случае. Движение большого количества солитонов с
