Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
производных воспользуемся формулами (6.30), взяв в них, например, первое
равенство
Уг=ТТ1Т' /=!>••¦>"• (7-55>
/ + (Z, Kj)
Отсюда получаем
67; _ 1 бМг.ЯД Д(г,7;.) 67,
6ф (*) f+ (г, 7;) 6ф (лг) f+ (г, kj) 6 |з (лг)
/- (г, 7;) 6/+ (г, 7;) /_ (г, 7;) /, (г, к,) 67;
/; (г, 7;) 6ф (лг) ^ ^ f+ [г> Я/) 6ф (лг)
(7.56)
§ 7. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ 221
&у; v
и аналогичное выражение для - . участвующие в этих фор-
бф (лг)
мулах вариационные производные от f±(z, к}) вычисляются на основании
равенств (2.6) - (2.7). Именно, переходя в них к пределу при L->-оо и
вспоминая определение (6.3) решений Йоста, получаем, что при z>x
8J^L=Y*T(z,x,k)o_T_(z,V (7.57)
бф (т)
и при z<x
= - VxT (z, x, к) aT+ {г, к), (7.58)
бТ_ (г, к)
а при z<x и г>х вариационные производные -----------------и соответ-
бф (-V)
6Т, (г, X) "
ственно ---- исчезают. Переход к выражениям для бф' (лг)
671 (г, X) б7\ (г, X)
-- и --- осуществляется заменой матрицы о_ на о+.
бф (лг) бф (лг)
Воспользуемся теперь тем, что левая часть формулы (7.56) не зависит от г.
Поэтому мы можем в правой части (7.56) перейти к пределу при z-*-x±0, при
котором выражения (7.57) - (7.58) существенно упрощаются. Полагая,
например, z=x + 0, получаем
6f- (х О, X) б/+ (X О, X) q /у ggs
бф (-Y) бф (лг)
откуда с учетом (7.54) имеем
6v- - V*
7 -- V и -т1^- (L (X, Ц f+ (х, к/) - f_ (х, kj) /+ (х, А./)). (7.60)
бф (*) а (Xj)
Аналогичным образом получаем, что 6v* - V-
_L_ = У X (g+ {х, kj) g_ (X, kj) - g+ {x, kj) g__ (x, kj)). (7.61)
бф (лг) a (Xj)
Отметим, что выражения (7.60) - (7.61) согласованы с формулами (7.33) -
(7.34) и равенствами
у ; = b(kj), yf = b'(kj), j=l,...,n, (7.62)
имеющими смысл только для финитных функций ф(х), ф(х). Выражения (7.60)--
(7.61) показывают, что вариационные бу/ бу j
производные ^ ^j и "д=-являются гладкими функциями, а из формул (7.35)--
(7.36), (7.38)--(7.41) и (7.45)--(7.46) следует,
222
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
6Y,
что они быстро убывают при ).v|->oo. Таким образом, ^ !>
бТ,-
~ являются функциями типа Шварца, что означает допу-
fiij; (д-) _
стимость функционалов ^ на фазовом пространстве Жй. На этом мы
заканчиваем оправдание формальных вычислений в § 6 и в начале этого
параграфа.
Перейдем теперь к описанию фазового пространства Ж0 в новых координатах в
случае %<0. Напомним, что при этом отображение & было построено и изучено
нами лишь на открытом подмножестве Жа в Жй, образованном парами функций
ф(л:), ф(х), удовлетворяющих условию (А), состоящему из неравенства (7.8)
и требования простоты нулей Я,- (см. § 1.6). Как мы уже отмечали выше,
гладкость функций ф (Я) и Ф(Я) эквивалентна условию
(7.8). Установленные свойства преобразования ёГ позволяют утверждать, что
Ж" представляется в виде несвязного объединения
•Л=и "". (7.63)
/1=0
где компоненты представляет собой произведение фазового пространства 2Я0
с комплексными каноническими координатами Ф(Я), Ф(Я) и конечномерного
фазового пространства Г", представляющего собой пространство К4" с
каноническими координатами р>, q, и pj, cpj, /= 1, . .. , п, где -°o<Pj,
q^Koo и 0^pj<oo, 0^ф,<2я, из которого выкинуты поверхности р; = 0 и (р,-
рк)2 + + (pj-рл)2 = 0, /, k= 1, ... , п. В терминах Я,- эти поверхности
задаются уравнениями 1шЯ, = 0 и Kj=Xh. Действительно, структура
произведения $Ш"=2Я0ХГ" согласована с пуассоновой структурой, поскольку
координаты непрерывного и дискретного спектра находятся в инволюции и
скобка Пуассона координат Ф(Я), Ф(Я) (а также и координат р,, рр q}, ф,-)
очевидно невырожденна. В частности, конечномерное пространство Г" можно
рассматривать как фазовое пространство, получаемое из редукцией,
задаваемой связью Ф (Я) = Ф (Я) =0.
Компоненты 3R", а также и фазовые пространства Г" в отдельности,
инвариантны относительно потоков, порожденных высшими уравнениями НШ.
Сужение этих потоков на Гг; описывает динамику солитонов, которую мы
подробно обсудим в следующем параграфе.
Алгебра допустимых функционалов на компоненте порождена произведениями
допустимых функционалов вида (7.48), построенных по Ф (Я) и Ф (Я), и
гладких функций на фазовом пространстве Г". Более точно, допустимые
функционалы F на ЗЛ"
^ /. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ
223
задаются абсолютно сходящимися рядами по Ф(>0> Ф(Я) вида
(7.48), где коэффициентные функции спт гладко зависят от дополнительных
переменных ph qh pj( ф^-; /= 1, .. ., п. При этом, по-6F 6F , ,
мимо убывания (У) и зф р ПРИ требуется еще, что-
бы ряды, получающиеся из (7.48) многократным дифференцированием по
дополнительным переменным, сходились абсолютно.
Продолжение отображения на все фазовое пространство Ль (без условия (А)),
введение и исследование на нем соответствующих новых координат
представляют собой сложную задачу глобального анализа, связанную со
"склейкой" многообразий 2Л" при появлении кратных нулей Xj и при выходе
их на вещественную ось. Обсуждение ес выходит за рамки этой книги. К
счастью, эта задача не слишком интересна для нашей основной темы--
