Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
метод решения скалярного уравнения Винера - Хопфа
(I + eK)f(s) = g(s), s^O. (4.62)
Для этого продолжим свободный член g(s) нулем при s<0 и перейдем к
преобразованию Фурье
оо оо
/(^)= f f(s)eilsds, g (/.) = \ g (s) ep-sds. (4.63)
-oo 0
Уравнение (4.62) примет вид
?(l) + z\b(l)\*lm=g(V (4.64)
или
(1 + 8 I b (I) I2) h (*.) = g W- L (*¦), (4.65)
где
OO
J± (>-) = J f (± s) e**°ds, f {X) = U W + L (*¦)• (4.66)
0
Отсюда благодаря (4.58) получаем, что
-77-п+f 4^-1 > (4.67)
"W \ а (Я) /
где проектор П+ введен в § 2 и однозначно определяется свойствами
П+/+ = /+, ПД_ = 0. (4.68)
Заметим, что в силу этого свойства проектора П+ функцию
g(s) можно продолжить на полуось s<0 произвольно (с сохранением
абсолютной суммируемости), а не обязательно нулем.
§ 4. УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬФАНДА - ЛЕВИТАНА - МАРЧЕНКО 117
Окончательно решение уравнения (4.62) имеет вид
оо
= Ь М ***<&, S > 0, (4.69)
2л j
-оо
(где f+(k) дается выражением (4.67). Тем самым задача описания оператора
(1 + еК)"1 решена.
На основании полученных формул преобразуем уравнение
(4.61). Вводя преобразование Фурье решения Bx(s)
со '•
Вх (s)=J в+ {к) <г°мк (4-70)
перепишем его в виде оД)5+(>.) + П+ (е e~i!-x +
V а(Х)
ОО ОО
+ f Гrx(s,s')Bx(s') e^ds'ds ) =0, (4.71)
а (Я) J J )
' -30 о
I
где мы воспользовались сделанным выше замечанием и продолжили свободный
член px(s) и ядро rx(s, s') на отрицательные s естественным образом.
Последнее слагаемое в (4.71) с помощью (4.57) легко преобразуется к виду
,ФО оо
^ ^Гх (s, s') Вх (s') eiXsds'ds =
-оо О
со о
= - eb (к) е~°-х ^ ^ Р (и - х - s) Вx(s) eCXudu ds=
О -о(r)
= _ eb (к) e~ihx\A_ (b (к) В+ (к) е'1х), (4.72) где П- - дополнительный к
П+ проектор:
П_ = 1- П+. (4.73)
В результате уравнение (4.71) принимает вид а (к) В+ (к) + еП+ (г (к)
(г1Х* - 'г (к) (ГС1*П^ (а (к) В+ (к) г (к) ел*)) = О,
(4.74)
где мы использовали обозначение (4.4) для г (к). Полагая
со
(s) = I а ^ в+ (к) 1Г°Мк (4-75)
118 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАИл
и переходя к обратному преобразованию Фурье, из (4.74) получаем уравнение
ОО -X
Ф* (s) + ew (- х - s) - е (j (j w (и - s)w(u-s') срх (s') du ds' = 0,
s> 0, (4.76)
где
oo
w(x) = -1- j г (X) e~ludX. (4.77)
-oo
Полагая теперь
(p*(s) =2ф(х, x+2s) (4.78)
и учитывая, что w(x)= 2со(-2х), из (4.76) окончательно получаем уравнение
оо оо
Ф (*> у) + ew (х + у) - е ^ j ф (х, г) со (г + г') со (г' + у) dz'dz = 0,
X X
у>х. (4,79)
Оно совпадает с уравнением, получающимся из системы уравнений Гельфанда -
Левитана - Марченко (4.17) для первой строки матрицы Г +(х,у) после
исключения из нее функции (Г+ (х, у))н.
Отметим также, что отождествление функции ф(х, у) и матричного элемента
е[Д (х, у) = (Г+ (х, у)) 12 видно и непосредственно из сравнения формул
(4.13), (4.40), (4.41), (4.49), (4.70) и (4.75).
Для вывода уравнения, связывающего матричный элемент (Г +(х,у))ц=а+(х,у)
с $+(х,у) (см. формулу (1.5,20)), рассмотрим формулу (4.45), выражающую
матрицу Ф~(х, s) через П+(х, s). Обозначая ax(s) = (Ф_ (х, s)) ", из
(4.45) имеем
ОС
ax(s) = - ^Р(- s - s' - x)Bx(s')ds', s > 0, (4,80)
откуда сразу получаем, что
ЭО
ax(s) = ~- (j Фд; (s') w ( s s' х) ds'. (4.81)
в
Полагая
ax(s)=2a+(x, x+2s), (4.82)
§ 4. УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬФАНДА -ЛЕВИТАНА -МАРЧЕНКО
119
из (4.81) получаем уравнение
ОС
а+ (х, у) + е ^ Р+ (х, г) а (г + у) dz = 0, у>х. (4.83)
X
Оно совпадает с уравнением, связывающим матричные элементы первой строки
матрицы Т+(х,у). Отметим, что совпадение
также следует и непосредственно из формул (4.12), (4.43) и
(4.44).
Итак, мы показали, что уравнения (4,79) и (4.83) вместе с инволюцией
(4.16) эквивалентны уравнению (4.17) -уравнению Гельфанда - Левитана -
Марченко для правого конца.
Аналогичным образом рассмотрение уравнения (4.51) приводит к уравнению
(4.21)-уравнению Гельфанда - Левитана- Марченко для левого конца.
Итак, мы показали, как в результате специальной регуляризации уравнение
Вииера - Хопфа превращается в уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко
для правого и левого концов. В заключение сделаем ряд замечаний о
сравнении двух подходов к обратной задаче.
1) В методе задачи Римана мы исходим из одной независимой функции Ь(Х),
преобразование Фурье которой при всех х ведет себя как функция ф(х). В то
же время в подходе Гель-фаида - Левитана - Марченко приходится
рассматривать две зависимые функции со(х) и (о(х), которые ведут себя как
ф(х) в окрестности + оо и -оо соответственно
2) Исходные данные Ь(Х),}Ч,^Ь /=1,,,.,я, задачи Римана взаимно
независимы, в то время как в подходе Гельфанда - Левитана - Марченко
нельзя менять собственные значения дискретного спектра X,, ие меняя хотя
бы одной из функций г(Х) или г(Х).
3) Уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко, в отличие от уравнения
Вииера - Хопфа, являются интегральными уравнениями с компактными
операторами.
4) В схеме задачи Римаиа вывод дифференциального уравнения
вспомогательной линейной задачи происходит особенно просто п является
локальным по х. В подходе Гельфанда - Левитана- Марченко эта локальность
