Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Д2Х2) (-оо, оо) и имеет специальный вид (2,5);
4) коэффициенты перехода непрерывного спектра вспомогательной линейной
задачи (3.2) с матрицей U0(x) совпадают с функциями а (Я) и
Ь(Х)=а(Х)г(Х), а дискретный спектр состоит из точек X], Xj с
коэффициентами перехода у,, у,, где K{i=d(Xj)cs, j 1, .. ., п.
Отметим, что при решении обратной задачи по схеме Гельфанда- Левитана -
Марченко следует использовать оба интегральных уравнения (4.17) и (4.21)
для правого и левого концов. Первое из них позволяет исследовать свойства
матрицы U о+) (х) в окрестности +оо, а второе - свойства матрицы t/#">
(х)
§ 4. УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬФАНДА - ЛЕВИТАНА - МАРЧЕНКО ИЗ
в окрестности -оо. При этом утверждение о совпадении матриц Ul+) (х) и
U\i"* (х) требует особого доказательства.
Мы не будем приводить здесь доказательство утверждений пунктов 1)-4).
Вместо этого мы покажем, как уравнения Гельфанда- Левитана - Марченко
получаются из уравнения Винера- Хопфа, исследованного в § 2. Отсюда, в
частности, будет следовать справедливость сформулированных выше
утверждений. При этом для простоты мы ограничимся рассмотрением
регулярного случая задачи Римана, когда дискретный спектр отсутствует.
Напомним (см. § 2), что упомянутое уравнение Винера - Хопфа имеет вид
оо
?2+ (х, s) + Ф (х, s) + ^ Q+(x, s') Ф (х, s' - s') ds'-0, (4.37)
О
где s>0, а
0(x,s)=f 0 ep(-s-A-) \ (4.38)
v l-P(s-x) 0 )
И
оо
Р (лс) = - Г Ъ (к) e~ilx dk. (4.39)
2 л. J
-оо
Построенная по решению Q+(x, s) матрица
оо
G;1 (хД)-/+5 Q+ (х, s) eilsds (4.40)
0
оказывается составленной из столбцов решений Йоста:
' с;1 (х, к) = -J- (Ti1* (х, к), Т? (х, к)) Е'1 (х, к) (4.41)
а (к)
вспомогательной линейной задачи (3.2) с матрицей
?/0(*) = т[а"'й+(*'°)]- <4-42>
При этом матрица G_(x, к), составленная из оставшихся столбцов решений
Йоста:
G_ (х, к) = (7<" (х, к), Т12) (х, к)) Е'1 (х, к), (4.43)
Допускает представление
ое
G_ (хД)-/+5 Ф_ (х, s) (г'*- ds, (4.44)
114
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
где
ОО
(X, s) = Ф (х, - s) + ^ 0+ (х, s') Ф (х, - s - s') ds'. (4.45)
О
Напомним, что в силу общей теории Гохберга - Крейна система уравнений
Винера - Хопфа (4.37) является фредгольмо-вой, т. е. оператор I + Ф в
пространстве Z,fХ2> (0> °°), участвующий в (4.37), представляется в виде
I + Ф = А + К, (4.46)
где оператор А ограниченно обратим, а К - компактен. Уравнение
/ + Ф/=? (4.47)
переписывается в виде
/ + A-'K/ = A-'g, (4.48)
где участвует компактный оператор А-1К. Переход от уравнения (4.47) к
(4.48) иногда называют регуляризацией.
Здесь мы покажем, что уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко
получаются из уравнения Винера - Хопфа при специальной регуляризации.
Введем матричные элементы матрицы-решения ?2+(л:, s)
Q+(x,s) = x xU . (4.49)
\CX(S) Dx (s) J V
Благодаря специальному антидиагоналыюму виду матрицы-ядра Ф(л:, s)
уравнение (4.37) сводится к двум независимым интегральным уравнениям для
функций Bx(s) и Cx(s) (см. § 2)
оо
5*(s) + e|3(-s - л:) + е ^ kx (s, s') Вх (s') ds' - О (4.50)
0
И
оо
Сх (s) - р (s - х) + е ^ lx (s, s') Сх (s') ds' = 0, (4.51)
0
где
00
kx(s,s')- ^ Р (й - s)P(u - s') du, (4.52)
-оо
ОО
lx (s, s') - ^ (5 (s - и) р (s' - и) du. (4.53)
X
Рассмотрим для определенности уравнение (4.50). Вводя обозначение px(s) =
p(-х-s) и рассматривая решение Bx(s) и
§ 4. УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬФАНДА - ЛЕВИТАНА - МАРЧЕНКО
115
свободный член e^x(s) как элементы L,(0, оо), перепишем его в виде
(1 + еК*)??х+еРх=0, (4.54)
где Кх- интегральный оператор с ядром kx(s, s'). Мы имеем разложение (см.
§ 2)
I + eKx=I + eK+Rx, (4.55)
где К - интегральный оператор с ядром k(s-s'),
ос
k (s) - ^ (5 (и + s) р (и) du, (4.56)
-ос
а ядро rx(s, s') оператора Rx имеет вид
-X
rx(s,s')- - е j р (и - s') р (и - s) du. (4.57)
-во
Оператор I + еК однозначно обратим, так как задача о его обращении
сводится к скалярной задаче Римана для функции
Оо
1 + е ^ k (s) e°Ms - 1 -f- е | b (к) |2 = а+ (к) а_ (к). (4.58)
-оо
При этом а+(к) -а(к) и а~(к) =а(к), где а(к) дается формулой
(2.6) без произведения множителей Бляшке (см. § 2). Оператор Rx
уже является компактным в L,(0, оо). Для доказательства этого
достаточно проверить равностепенную непрерыв-
ность функций вида h(s) =Rxf(s) в среднем и равномерную ма-
оо
лость интеграла ^ |/i(s)|c?s при больших А для всех f(s) из л
ограниченного множества в L,(0, оо). Мы имеем элементарные оценки
С/Э
^ | h (s + 6)- h(s) | ds= о
oo oo -x
= 5 5 5 ^ - s - ^ ^ ^u- ^ ^ ^u ^s'
0 0 -oo
ds
J №(u)\du]\f(s')\ds' J |p(s + fi)-P(s)|ds (4.59)
116
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
со со -X
ds:
(j | h (s) | ds = (j ^P (u - s) P (u - s') / (s')du ds'
-4 Л 0 -3o
< J |P(u)|du J |/(s') I*' J |P(s)Ms, (4.60)
-oo 0 -oo
из которых следует требуемая компактность.
Регуляризацией уравнения (4.54) является уравнение
Bx+(I + eK)-,(Rx6x+e^)=0. (4.61)
Мы покажем, что оно фактически совпадает с уравнением Гельфанда -
Левитана - Марченко.
Для явного представления оператора (I + еК)-1 используем стандартный
