Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 31

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 180 >> Следующая

Таким образом, мы показали, что норма оператора (1 + eKJ-1 равномерно
ограничена по х в окрестности +оо.
Рассмотрим теперь окрестность -оо. Не следует думать, исходя из (2.64),
что оператор К* исчезает при х-н>-оо. Это становится очевидным, если
ввести новую неизвестную функцию
fx(s)=Bx(s-x), s^x, (2.73)
для которой уравнение (2.61) принимает вид
со
fx (s) = - ер (- s) - е ^q (s, s') fx (s') ds'. (2.74)
X
'Ядро q(s, s') не зависит от x и имеет вид
ос
q (s, s') = ^ р (и - s) (J (и - s') du. (2.75)
О
•Сделанный сдвиг переводит пространство А,(0, оо) в Ь,(х, оо). При этом
оператор Кх переходит в оператор Q* в пространстве А,(х, оо) с ядром q(s,
s'), где s, s'^x. Вложим теперь пространство Ь,(х, оо) в L,(-оо, оо) и
через Q* будем также обо-
§ 2. БЫСТРОУБЫВАЮЩИЙ СЛУЧАЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ 95*
значать и оператор в L,(-оо, оо) с ядром
qx(s, s')=6(s-x)6(s'-x)q(s, s'), (2.76)
где 0(s) = 1 при s>0 и 0(s) = O при s<0. Последовательность операторов Q*
при х->-оо сходится по норме L,(-оо, оо) к оператору Q с ядром q(s, s').
Докажем, что оператор I + eQ обратим - покажем, что уравнение
оо
f (s) = g (S) - e J q (s, s') f (s') ds' (2.77).
0
однозначно разрешимо в L,(-оо, оо). Положим
оо оо
F (I) = ^ f(s)eilsds, G (к) = g(s)eiKsds (2.78)
-оо -оо
и совершим в уравнении (2.77) преобразование Фурье; в результате получим
уравнение
F(k) = G (к) -гЬ (к) П +(b(k) F(k)), (2.79)
где проектор П+ вводится следующим образом: если
оо
(s)e^ds, (2.80);
-оо
то
(U+Q(l)=\il(s)e^ds. (2.81).
О
Уравнение (2.79) имеет единственное решение, которое можно явно выписать
в виде
F (к) = G (к) - е П+ (Ш-G (к)) , (2.82)-
а+ (>•) \ (a) j
где функции а±(к) введены в (2.72).
Действительно, вводя функцию Ф (к) формулой
F(k)-G(k)=-eb(k)(S>(k), (2.83)
из (2.79) получаем для нее уравнение
Ф (к) = П+ (b (к) G (к) -е | Ь (к) 12Ф (к)), (2.84)
которое, в частности, показывает, что Ф(>.) принадлежит кольцу Э1+.
Используя факторизацию (2.72), перепишем (2.84) в
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
виде
П+ (b(k) G (Я) - а+ (Я)а_(Я) Ф(Я)) =0, •откуда уже легко получаем
выражение для Ф (Я):
(2.85)
Ф(Я) =
а+ (Я)
(2.86)
и тем самым формулу (2.82).
Таким образом, мы показали, что оператор 1 +еКх ограниченно обратим и в
окрестности -оо. Доказательство равномерной разрешимости по х
интегрального уравнения (2.61) на этом заканчивается.
Уравнение (2.63) исследуется аналогично. При этом для доказательства
равномерной ограниченности оператора (l + eLx)-1 •в окрестности -оо
следует использовать представление типа (2.68), а в окрестности +оо-
только что приведенный выше способ.
Используем полученные результаты для исследования асимптотик решения
задачи Римана при |х|-коо. Для половины матричных элементов матрицы
G+1(x, Я) эти асимптотики тривиальны.
Действительно, свободные члены в уравнениях (2.61) и (2.63) .имеют в
пространстве ТД0, оо) нормы
которые исчезают при х-к+оо и х->-оо соответственно. Поэтому
при х->-оо. Таким образом, при всех Я, 1тЯ^0, асимптотики первой строки
матрицы G+1 (х, Я) при х-ь+оо и второй строки при х-*-оо совпадают с
приведенными в формулах (1.39) и
Рассмотрим теперь поведение первой строки матрицы G+1(x, Я) при х->-оо.
Положим Bx(s) =fx(s+x); при х->-оо получаем, что fx(s)-^f(s) в смысле
сходимости в L,(-оо, оо).
(2.87)

ОО
оо
JlPCs - x)|ds= J|p(s)|ds
(2.88)
0
-X
ИД.1Ы), ||Лх||->0
(2.89)
(2.90)
при х-ь + оо и
ЦСХ||-Я), IIAJK0
(1.41).
§ 2. БЫСТРОУБЫВАЮЩИЙ СЛУЧАИ. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ 97
Функция f(s) удовлетворяет уравнению (2.77), где g(s) = = -е[1(-s),
Поэтому при вещественных Я и х->-оо получаем
со °°
(G+1 (х, Я))12 = Вх (s) elhsds = erihx Г f (s) eihxls + о (1) =
О -оо
еб (Я) ^ihx / (Я) _ п+ /__е | ^ (Я) р \\ + о (j) =
а+ (Я) V + V а_ (Я)
= - е~р'х (к) + п+ ((1 -(Я)) + РтД " 1))) +
а+ (Я) _ V 0L (Я) ))/
+ 0(1)=- ?Ш-.^ + 0(1). (2.91) а+ (Я)
Далее, из уравнения (2.60) получаем, что при х->-оо
оо
(fi-1 (х, }.))п = { + \Ax(s)e^cls =
О
Оо оо
= 1 + ^' ^ Р (s - s' - x)fx(x -fi s') eilsds'ds =
0 0
OC OO
= 1 + ^ P (s - s')/(s') eilsds'ds fi- o(l) =
G-oo
= 1-п*(^Г")+"<1)=|+п*((Дд-1) +
+ (1-а_Д))')+о(1)--4т7 + °(1)- <2-92>
J <*+ (Я)
Аналогичным образом получаем, что при x-v+oo
(G-1 (х, Я))21 = -^М- + о(1) (2.93)
а+ (Я)
и
(G?(x, Я))23 = -+о(1). (2.94)
а+ (Я)
Таким образом, мы воспроизвели асимптотики (1.39) и
(1.41), если отождествить а (Я) в этих формулах с а+(Я).
Асимптотики для матрицы G_(x, Я) следуют из полученных асимптотик для
матрицы G+1 (х, Я) и формул (2.1), (2.13). Они совпадают с формулами
(1.40) и (1.42), если отождествить а(Я) и а-г(Я),
Таким образом, отсюда заключаем, что матрицы G±(x, Я) составлены из
решений Поста Т±(х, Я) вспомогательной линейной задачи (2.4) по формулам
(1.5), (1.6) и (1.18), (1.19), а
98
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
матрица
Т (Я) = (а (}'] ^ (Я) I (2.95)
\Ь (к) а (X)
играет для них роль приведенной матрицы монодромии.
Рассмотрим теперь при х<0 общий случай задачи Римана с нулями. Для
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed