Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 33

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 180 >> Следующая

-оо
где
оо
К = ^ | k (s) | ds <[ оо.
-оо
Отсюда следует, что
11/11,
(2.110)
(2.111)
§ 2. БЫСТРОУБЫВАЮЩИЙ СЛУЧАЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ
101
где f(x,s)-произвольный элемент L4(-оо, оо)(r)С[0, оо). Далее, используя
представление (2.64) для ядра ^x(s,sy), легко
оо
показать, что ^ (КJ)(x,s)dx является непрерывной функци-
¦- оо
ей s.
Отсюда уже нетрудно получить, что оператор I + еК* однозначно обратим в
пространстве L4(-оо, оо)(r)С[0, оо). Действительно, приведенные ранее
результаты можно трактовать как существование оператора (I + еК*)-1 в
пространстве функций С(-оо, оо) (giLj (0, оо) с естественным определением
нормы
оо
||g-||= max C|g(*,s)|ds. (2.112)
-со<*<со J 0
Пространство L4(-оо, оо)(r)С[0, оо) "почти" сопряжено этому пространству, а
оператор К*, как это видно из (2.64), является формально самосопряженным.
Это позволяет утверждать, что оператор (1 + еКх)"* существует и ограничен
и в L4(-оо, оо)(r)С[0, оо). Более строго мы можем повторить доказательство
обратимости оператора 1 + еК*, отправляясь от теории Гохберга - Крейна в
пространстве С[0, оо) вместо L4(0, оо).
На основании формул (2.66) отсюда заключаем, что в регулярном случае
задачи Римана функции Ф(а), ф(;к) принадлежат L4(-оо,оо). Для
рассмотрения случая задачи Римана с нулями следует использовать
представление (2.104) и сделанное выше замечание об абсолютной
интегрируемости матрицы До (а:).
Докажем теперь, что функции F±(x,K) абсолютно непрерывны по х, и
оправдаем вывод дифференциального уравнения
(2.4) в п. 2. Предположим сначала, что функция р(я) имеет две производные
из L4(-оо, оо). Тогда нетрудно убедиться, что матрица Q+(x, s)-решение
уравнения (2.53)-дифференци-(ЭР+. dQ+ d2Qi. ,
руема по х и s и КЗК ФУНКЦИИ s принадле-
жат по s пространству L(2X2) (-оо, оо). Отсюда, как показано в п. 2,
следует, что матрицы F±(x, К) абсолютно непрерывны по х и удовлетворяют
дифференциальному уравнению (2.4). Для рассмотрения общего случая
достаточно приблизить функцию Р(я) в L4(-оо, оо) функциями рп(*) с
указанными выше свойствами. Тогда построенные по ним матрицы (х) будут
сходиться при я->оо в норме Т<2Х2>(-оо, оо) к матрице U"{x), а матрицы
F{± {х, Я) будут удовлетворять дифференциальному Уравнению типа (2.4)
dF'^ \
(X, К) = [jr <т3 + u[n) (x)J F? (X, К) (2.113)
102
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
и при фиксированном Я сходиться в норме С(2Х2) (-оо, оо) к матрицам F±(x,
Я). В силу замкнутости оператора дифференцирования отсюда следует, что
матрицы F±(x, Я) абсолютно непрерывны и удовлетворяют уравнению (2.4)
вспомогательной линейной задачи.
Итак, мы доказали все утверждения, сформулированные в начале этого
параграфа в п, 1-4. Здесь мы сделаем два замечания.
1) Все рассуждения были проведены в наиболее общем случае, когда функции
ф(я), фМ были из пространства Li(-оо, оо), а коэффициент Ь(Я)
представлялся как преобразование Фурье абсолютно интегрируемо^ функции.
Исследование задачи Римана и связи Ь(К) с ф(я), ФМ можно провести и в
других функциональных классах. В частности, особенно просто исследуется
случай, когда b (Я) является функцией типа Шварца. При этом функции ф(я),
Ф0*0 также являются функциями типа Шварца. _ __
2) Функции Ь(Я), 5(Я) и набор чисел Я,-, Я/, х,-, х,-, /= 1, ..., п,
входят в исходные данные задачи Римана независимым образом. Поэтому можно
рассмотреть случай, когда Ь(К), Ь (Я) тождественно исчезают, т. е.
С(Я)=/. При этом задача нахождения параметров матричных множителей Бляшке
- Потапова в
(2.28) сводится к системе линейных алгебраических уравнений, которая
будет явно приведена и решена в § 5. Соответствующая вспомогательная
линейная задача (2.4) называется безотража-тельной, так как при этом один
из коэффициентов перехода - b (Я)-исчезает, а второй - а (Я)-представляет
собой произведение элементарных множителей Бляшке. Именно такие функции
ф(;с), ф(х) отвечают чисто солитонным решениям уравнения НШ и будут
подробно рассмотрены в § 5.
На этом исследование задачи Римана в быстроубывающем случае
заканчивается. В следующем параграфе мы рассмотрим следствия этого
исследования применительно к модели НШ.
§ 3. Приложение решения обратной задачи к модели НШ
Проведенное в предыдущем параграфе исследование задачи Римана позволяет
дать решение обратной задачи - явно описать процедуру обращения
отображения
: (Ф М, Ф (*)) (Ь (Я), ~Ь (Я); Я/, Я/, у/, V/, / = 1,...,") (3.1)
от функций ф(х), ф(ж) к коэффициентам перехода и дискретному спектру
вспомогательной линейной задачи
^-=U(x,k)F (3.2)
dx
в быстроубывающем случае.
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЕ К МОДЕЛИ НШ
103
Именно, результаты § 1.5-1.6 показывают, что отображение ёГ переводит
функции_ ф(х), г|)(х) из пространства оо, оо) в функции Ь(К), Ь(К) из
кольца 9J0, образованного преобразованиями Фурье функций из L4(-оо, оо)
(см. § 1.6). Дискретный спектр и его характеристики появляются только в
случае х<0; при этом предполагается выполнение условия (А) из § 1.6. Оно
означает, что b(Я) удовлетворяет дополнительному ограничению
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed