Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, из дифференциального уравнения (3.2) следует, что
коэффициенты Fn(x,t) исчезают:
Fn(x,t)= 0, п= 1,2,... (3.24)
Первое из этих тождеств означает, что матрицу V0(x,t) можно представить в
виде
V0(x,f) = -i -~(x,t,0). (3.25)
дх
Далее, антпдиагональная часть матрицы дф~- (х, t, 0) в силу
дх
(3.20) совпадает с матрицей dU° ^ а3. Для определения ее
дх
диагональной части рассмотрим снова равенство (3.24) для п= 1 и отделим в
нем диагональную часть. Мы получим, используя (3.20) и (3.23), что она
представляет собой матрицу -a3Ul(x, t). Таким образом, получаем
окончательное выражение
V0 (х, t) = iasUl (х, t) + i dUo (x't] <y3. (3.26)
dx
Сравнивая формулы (3.20) и (3.26) с (1.2.7), убеждаемся, что матрица
V~(x,t,X) совпадает с матрицей V(x,t,X) из § 12:
1/_(д:,t,X) = V(x,t,%). (3.27)
Аналогичным образом для матрицы F+(x,t,X) при |Я|->-оо, Im^SsO получаем
асимптотику
^l±-(x,i,X)F7r1 (x,t,X) = V+(x,tA) + 0^^j , (3.28)
где матрица V+(x,t,X) имеет вид (3.19). Отсюда на основании теоремы
Лиувилля заключаем, что матрицы V±(x,t,X) совпадают:
К+ (х, t, Я) = (лг, t,%) = V (х, t, Я), (3.29)
а матрицы F±(x,t,X) удовлетворяют искомому дифференциальному уравнению
6F+
(х, t,%) - V {х, t, Я) F± (х, t, Я). (3.30)
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЕ К МОДЕЛИ НШ 107
Вместе с дифференциальным уравнением (3.2) это означает, что связность
(U(x, i,X), V(х, t,%)) удовлетворяет условию нулевой кривизны (1.2.10)
- - -+[t/,n=0. (3.31)
dt дх
Итак, исходя из задачи Римана (3.9) - (3.10), мы построили связность
(U(x,t,K),V(x,t,'k)) вида (1.2.3) - (1.2.8), удовлетворяющую условию
нулевой кривизны. Отсюда следует, что функция ф(х, t) действительно
является решением уравнения НШ. Приведенные выше рассуждения также
доказывают глобальную однозначную разрешимость начальной задачи (3.4) -
(3.5) для модели HLU в классе шварцевских функций (при х<0 дополнительно
предполагается выполнение условия (А)).
Итак, мы показали, что изученное отображение ?Г представляет собой
нелинейную замену переменных, линеаризующую уравнение НШ.
Изложенный способ решения начальной задачи для уравнения НШ можно
изобразить в виде следующей коммутативной диаграммы:
(ф (х), ф (*)) -+ ф (К), Ъ V/, Y/)
|т, (3.32)
(Ф (х, 0, ф (х, <))"-- Ф (К 0. ь {К 0; ^/. Ч, у/ (0,7/(0)-
Здесь тц-сдвиг по t согласно исходному уравнению (3.4), а т2- сдвиг по t,
задаваемый явными формулами (3.7).
Поучительно рассмотреть отображение в линейном пределе х->-0, при котором
уравнение НШ переходит в обычное линейное уравнение Шредингера
L. (3.33)
dt дх2
С этой целью рассмотрим асимптотику коэффициентов перехода а(Х) и Ь(Х)
при х-^-0.
Из интегрального уравнения (1.5.36) для решения Йоста Т-(х,%) имеем при
х->-0
X
Т_ (х, &)=?(*;&)+$?(*_ у) и0 (у) Е (у, К) dy + О (| х |). (3.34)
-со
Переходя в этой формуле к пределу при x-++oo, получаем, что
оо
о Ф) - 1 + О (| х |), b (К) - |/"х ^ ф (х) erlKxdx + О (| х |). (3.35)
- оо
Последние формулы показывают, что дискретный спектр пропадает, а
отображение сводится к преобразованию Фурье.
108
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Временная динамика коэффициента Ь(Х), задаваемая формулой (3.7),
очевидным образом совпадает с динамикой преобразования Фурье функции ф(х,
/), удовлетворяющей уравнению (3.33).
Приведенные рассуждения позволяют в общем случае у,?=0 интерпретировать
отображение как нелинейный аналог преобразования Фурье. При этом схема
интегрирования уравнения НШ методом обратной задачи - диаграмма (3.32)-
представляет собой нелинейный аналог метода Фурье.
§ 4. Связь метода задачи Римана с формализмом
интегральных уравнений Гельфанда - Левитана - Марченко
Этот параграф носит технический характер. Здесь мы приведем
альтернативный и более традиционный подход к решению обратной задачи,
основанный на интегральных уравнениях Гельфанда - Левитана - Марченко, и
установим его связь с методом задачи Римана.
В отличие от последнего метода, основанного на стандартной
задаче (2.1) об аналитической факторизации матриц-функ-
ций, метод Гельфанда - Левитана - Марченко использует специальную задачу
сопряжения аналитических вектор-функций, следующую из формулы связи (1,3)
для решений Поста
Т-(х,Х)=Т+(х,Х)Т(Х)-, (4.1)
напомним, что Т(Х) задается в виде
Т(Х)=(а(1) (4.2)
,Ь(к) а{\)
и e=signx.
Для формулировки этой задачи воспользуемся соотношением (4.1) для первого
столбца Т-\х,Х) матрицы Т-(х,Х), которое сразу запишем в виде
Т- (х, X) = Г'1' (х, X) + г (X) Tf (х, X), (4.3)
где
г(Х)=Ь(Х)/а(Х). (4.4)
Левая часть равенства (4.3) аналитически продолжается в верхнюю
полуплоскость X, за исключением точек X=Xj, /= 1, . . . . . . , п, где
она имеет простые полюсы. В силу соотношения (1.6.20)
Т*\х Д/) = Т/7ч+а)(лг,М (4.5)
получаем,что
I 'Н1) I 1 Л 'T'i2) t Л \ /А П\
§ 4. УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬФАНДА - ЛЕВИТАНА - МАРЧЕНКО 109
где
С/ - ¦ У- , /=1,...,л, (4.7)
а(Х,)
а точка означает производную по X. При |Я|->-оо имеем асимптотику
-J- TLl) (х, X) № = f М + о (1). (4.8)
а (Я) V 0 J
