Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
этом случае не выполняется свойство 1). Тем самым мы можем утверждать,
что солитон представляет собой существенно нелинейное явление.
Рассмотрим теперь общий безотражательный случай, когда заданы п пар нулей
kh lh Im^-X), и чисел у}, /=!,..., п. Решения соответствующей задачи
Римана имеют вид
е+(*Д)=П(*,Я), G^{x,X)=n-l(x,K), (5.17)
§ 5. БЫСТРОУБЫВАЮЩИП СЛУЧАИ. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ 123
где П(аД) задается как упорядоченное произведение матричных множителей
Бляшке - Потапова:
''-Ч
тг
П(хД) = Т\ В,(х,к), (5.18)
/=1
в, (х, /.) = / + Pj (х) (5.19)
k-kt
(см. формулы (2.28)), a Р3-(л:)-ортогональные проекторы. Они однозначно
определяются по заданным числам у, посредством условий (1.49) на
подпространства 1тП(д:, к,) и КегД-'Д. kj), /= 1, ..., п. Используя
обобщенное свойство унитарности
П' (х, к) = 1Г1 (х,~к), (5.20)
мы перепишем здесь эти условия в виде
П"1 (X, kj) lj = П* (х, kj) I; = 0, (5.21)
где
li(x)= (V/W) (5.22)
- вектор-столбец, а у,(х) = /= 1, . . ., п.
Как было объяснено в § 2, условия (5.21) позволяют последовательно
определить проекторы Pj(x), ..., Рп(х). Матрица U0(x) по-прежнему дается
формулой (5.6), где теперь матрица л (а) участвует в асимптотике
щ*Д) = / + + (5.23)
и имеет вид
я (*) = - У, (kj - к;) Pj (х). (5.24)
I
/=1
Приведем теперь альтернативный способ определения матрицы П(х, к). Он
состоит в разложении матрицы П-1 (х, к) на простые дроби
п А (т)
1Г (х, ;,, = !+ g (5.25)
/=г /
и нахождении матричных коэффициентов А5(х). Условия (5.20)
и (5.21) показывают, что матрицы Aj(x) представляются в виде
Aj (х) = г,- (х) l) (х), (5.26)
124 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
. . (Pj (*) N .
где Z; (х)-I ' (x) = (Yj(a:)> 0-вектор-строка, сопря-
женная к вектору-столбцу Zj(х), /== 1, ..., п. В частности, отсюда
следует, что А,-(х) - матрицы ранга 1.
Для доказательства рассмотрим следующие разложения в окрестности точки k
= (сравни с § 2):
П~1(хЛ)=-^~ + 0(1) (5.27)
- А/
И
Щх, 1)=В;(х)+0(\Ъ - (5.28)
так что
А}(х) Bj(x) =Bj(x)A1(x) =0. (5.29)
Вместе с условием (1.49)
lm ?,(*) = {( _^(х) )} (5.30)
это показывает, что матрица А}(х) имеет единичный ранг и представляется в
виде (5.26).
Условия (5.21) позволяют однозначно определить неизвестные векторы Zj(x),
участвующие в (5.26). В самом деле, подставляя (5.26) в (5.25) и
используя (5.21), получаем систему линейных алгебраических уравнений n
?/(*)+?, - - zk(x) = о, /=1,...,п. (5.31)
t, bj-Ч
Скалярные произведения Zkh имеют вид
lk (X) Zj (х) = 1 + ук (х) У; (х), (5.32)
и система (5.31) распадается на две, отдельные системы уравнений для
первых и вторых компонент векторов Zj(x). В частно-
сти, для первых компонент р,(х) имеем
2 Mjk (х) рк (х) = - у/ (х), / = 1,. .., п, (5.33)
k=x
где
ЛА /\ 1 + 7/ (X) у к (х) . . , ,еол\
Mjk (х) =----^--------, /, k ±= 1,. . ., п. (5.34)
h-ч
Матрица л(х) определяется через А^(х) посредством формулы
я(*) = "2 А,(х), (5.35)
/=1
§ 5. БЫСТРОУБЫВАЮЩИЙ СЛУЧАИ. СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ 125
откуда на основании (5.6), (5.26) и (5.35) для функции ф(х) получаем
Вводя пХп матрицу М(х) с матричными элементами Mik(x) и матрицу Af, (х)
вида
Итак, мы получили явные формулы для безотражательных функций ф(х)> Ф(а) в
общем случае. Они зависят от 2п комплексных чисел Xj, Yi с условиями
1тЛ3->0, и среди чисел
Xj нет совпадающих; функции ф(х), ф(х) являются шварцев-скими и, более
того, экспоненциально убывают при |х|->-оо.
Действительно, гладкость функций ф(я), ф(х) (и, в частности,
невырожденность матрицы М(х)) следует из несингулярности при любом х
проекторов Pj(x), что легко проверяется последовательно. Для
доказательства экспоненциального убывания заметим, что при x-v + oo уДх)
=0(e_Im V), так что с такой точностью векторы &(х) превращаются в
постоянный век-
гдеа= min {1тЛ3}, так что ф (х) = О (е~ах) при х-"- + оо. Оцен-/=1 п
ка ф (х) = О (е11*) при хн-оо получается из равенства, аналогичного
предыдущему:
Оно следует из того, что при хн оо yj(x) =0(e-ImV), по-
Ф (х) = Pi(x).
V * /=1
п
(5.36)
(5.37)
из формул Крамера имеем окончательное выражение ции ф(х):
для функ-
(5.38)
Отсюда получаем
(5.39)
(5.40)
этому векторы - ^ ЕДа) с экспоненциальной точностью превращаются в
постоянный вектор
126 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Рассмотрим теперь безотражательную функцию фД) вида
(5.38) в качестве начальных данных для уравнения НШ. Решение гр (ас, t)
получается из формулы (5.38) при замене параметров YiM на Y; (х, t)
согласно (3.7):
у-,{хД) = е llrY/(x), j = \ ,,п, (5.41)
и остается безотражательным. Убедимся, что это решение описывает
взаимодействие п солитонов. Для этого покажем, что при ?->-± оо решение
ф(х, t) в ситуации общего положения представляется в виде суммы
односолитонных решений-.
П
Ф(*,0 = 2 ^(Jf.O + 0(^"|/|). (5.42)
/=1
Здесь ф/^Д, t), /= 1, ..., п, - солитоны с параметрами А3, vh xffi и
<p(0f\ определяемыми формулами (5.12) по данным kj и Т/±}, где
tf+) = 7/ П П (5.43)
vk<vf / r'k vk>v! ^/-Ak
и
7/"'=7/ П -hczh- IT (5.44)
