Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
при всех Я, а среди чисел Kj нет совпадающих и 1тЯ4>0. При этом ни один
из коэффициентов /=1,...,л, не исчезает.
В указанных классах отображение является взаимно одно-
значным.
Действительно, исходные данные задачи Римана, сформулированной в конце §
1, однозначно параметризуются данными в правой части (3.1). Приведенное в
§ 2 исследование задачи Римана показывает, что функции ф(лг), ф(я),
определенные формулами (2.66), порождают эти данные как коэффициенты
перехода и дискретный спектр вспомогательной линейной задачи. Техническую
основу обращения отображения ёГ составляет формализм матричного уравнения
Винера-Хопфа со специальной зависимостью от параметра х, описанный в § 2.
Отображение ёГ является обратимым и в других функциональных классах. Так,
например, его можно рассматривать на фазовом пространстве Ж0 модели НШ,
образованном функциями (ф(;к), ф(я)) из пространства Шварца. При этом
функции Ъ(Х) также являются шварцевскими и ёГ взаимно однозначно. В гл.
III мы убедимся, что в этих классах отображение ёГ, а также и ёГ~',
дифференцируемо.
. Применим теперь полученные результаты для полного описания динамики
модели HIII в быстроубывающем случае. В § 1.7 мы показали, что если
комплексная функция ф(х, t) удовлетворяет начальной задаче
&(Я)|<1
(3.3)
(3.4)
(3.5)
то динамика коэффициентов перехода и дискретного спектра вспомогательной
линейной задачи (3.2) с матрицей
104 гл- Н- ЗАДАЧА РИМАНА
задается формулами
b{X,t) = eriMb{X), X,(t)=Xh
(3.7)
УIФ - е~а'*У/> 1=1,..., п.
Здесь b(X), Я,- и "fj- получаются из начальных данных ф(х) задачи (3.4) -
(3.5) с помощью отображения 9Г.
Теперь мы докажем обратное утверждение - покажем, что если выполняются
формулы (3.7), то функция ф(я, /), определяемая по участвующим в (3.7)
данным с помощью отображения Sr_1, удовлетворяет уравнению НШ. При этом
будем предполагать, что коэффициент b (7*,) является функцией типа
Шварца, так как динамика (3.7) не выводит из пространства Шварца. Для
доказательства рассмотрим задачу Римана (2.1)
G(x,t,X)=G+(x,t,X)G-{x,t,X), (3.8)
где мы учли зависимость от дополнительного параметра t. В силу (3.7)
имеем
G (х, t, X) =Е~1 (t, X2) G (х, X)E(t, X2), (3.9)
где Е (t, X2) =expj^4- оЛ-уже неоднократно использовавшаяся I J
матрица. При х<0 в случае задачи с нулями также имеем условия
lm G+ (х, t, Xj) = N{jr) (х, t), Кег G_ (х, t, Xj) = N{j~} (x, t), (3.10)
где
Л7/1"* (x, t) = E~' (t, X2) N(;](x), (x, i) =E~1 (t,X)) (x),
(3.11)
/=1, ..., n.
Из результатов § 2 очевидно, что задача Римана (3.9) - (3.10) однозначно
разрешима в указанном классе при каждом х и t. Введем матрицы-функции
F+ (х, t, X) = G+1 (лг, t, X) Е (х, X) Е'1 (t, Я2), (3.12)
F_ (х, t, X) = G_ (х, t, X) Е (х, X) Е-1 (t, X2). (3.13)
В § 2 мы доказали, что при фиксированном t они удовлетворяют
дифференциальному уравнению (3.2) вспомогательной линейной задачи.
Покажем, что при фиксированном х они удовлетворяют и дифференциальному
уравнению по t. Дифференцируемость по t этих функций непосредственно
вытекает из рассмотрения уравнения Винера - Хопфа (2.53), дополненного
зависимостью от t.
Для вывода искомого уравнения по t (как и в § 2 для уравнения по х)
перепишем (3.9) в виде
F-(x,t,X)=F+(x,t,X)G(X), (3.14)
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЕ к МОДЕЛИ НШ
105
откуда получаем
-^-F_(x,t,l)FZ1(x,t,k) = -?rF+(x,t,K)r,1(x,t,X). (3.15)
dt dt
В силу условий (3.11) не зависящие от х подпространства Im F+1 (х, t,Xj)
и Кег(х, t, Xj) также не зависят и от t. Повторяя рассуждения,
использованные в п. 2 предыдущего пара-
dF±
графа, получаем отсюда, что матрицы-функции (х, t, Я) X
XF+±(x, t, Я) совпадают и представляют собой целую функцию переменной Я.
Для ее определения рассмотрим, следуя § 2, интегральное представление
F_ (х, t,X) - ^ Ф_ (х, t, s) e^lhsds j E (x, X) Е~г (t, Я2)
(3.16)
и вытекающую из него асимптотику при |Я|->-оо, 1тЯ=^0 г-i / , , ч / т ,
Ф_ (х, t, 0) 1 <ЭФ_ , . .
F_{x,t,X) =/Н-------------'------------------ (x,t,0) +
\ U Я2 ds
+ O^^E(x,k)E-1(t,k'). (3.17)
Дифференцируя эту асимптотику по t, получаем, что при таких Я
^=- (х, t, Я) FZ1 (х, t, Я) - V_ (х, t,X) + О ( -J-'j , (3.18)
dt V I Я | /
где
V- (х, t, я)=Я2К2 + Я^+К", (3.19)
а
^ = -у-. viМ = у [ Ф- (*. 0), а3] = -и0 (х, 0 (3.20) (см. (2.51)) и
(*, 0 = 4- Гстз, ^ (х, /, 0)'1 + 4- [Ф- (*. *. °). стз] Ф_ (*, Л 0).
2 L ds J 2
(3.21)
Выразим теперь матрицу VB(x, t) через U0(x, t). Для этого воспользуемся
дифференциальным уравнением (3.2), из которого, в частности, следует
бесконечная серия тождеств на матрицу Ф-(лг, t, s) и ее производные по х
и s при s=0. Действительно, многократно интегрируя в представлении (3.16)
по частям и Дифференцируя его по х, получаем при |Я|->-оо, 1тЯ<0
следующее асимптотическое разложение:
~=- (х, t, Я) FZ1 (х, t, Я) = и {х, t) + J L + О (| Я Г)
дх 21 (Щп
(3.22)
106 гл- п- задача римана
(сравни с § 2). В частности, мы имеем
Л(*.0= j- ([^>^(^,0)] +
+ [ ф_ (ЛГ, f, 0), Од ] Ф_ (x,t, 0) +2^- (х, t, 0)). (3.23)
